第2章 第11节 导数的应用.doc

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1、2009~2013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用考点一应用导数研究函数的单调性1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解：本题主要考查导数的基本知识，利用导数判断函数单调性、求极值．(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)

2、－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．2.（2013山东，12分）已知函数f(x)＝ax2＋bx－lnx(a，b∈R)．(1)设a≥0，求f(x)的单调区间；(2)设a＞0，且对任意x＞0，f(x)≥f(1)．试比

3、较lna与－2b的大小．解：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力．(1)由f(x)＝ax2＋bx－lnx，x∈(0，＋∞)，得f′(x)＝.①当a＝0时，f′(x)＝.(ⅰ)若b≤0，当x>0时，f′(x)<0恒成立，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．(ⅱ)若b>0，当0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.②当a>0时，令f′(x)＝0，得2ax2＋bx－1＝0.由Δ＝

4、b2＋8a>0，得x1＝，x2＝.当0x2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a＝0，b≤0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)；当a＝0，b>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a>0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，＋∞.(2)由题意知，函数f(x)在x＝1处取得最小值．由(1)知是f(x)的唯一极小值点，故＝1，整理得2a＋b＝1即b＝1－2a.令g(x)＝2－4x＋lnx，则g′(x

5、)＝.令g′(x)＝0，得x＝，当00，g(x)单调递增；当x>时，g′(x)<0，g(x)单调递减．因此g(x)≤g＝1＋ln＝1－ln4<0.故g(a)<0，即2－4a＋lna＝2b＋lna<0，即lna<－2b.3．（2013湖南，13分）已知函数f(x)＝ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.解：本题主要考查函数求导、函数的单调区间和不等式的证明，意在结合转化思想和函数思想，考查考生的计算能力、利用函数思想证明不等式的能力．(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋

6、∞)．f′(x)＝′ex＋ex＝ex＝ex.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．(2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；同理，当x>1时，f(x)<0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1

7、时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)

8、案：(－1,11)5．（2012福建，14分）已知函数f(x)＝e