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1、第3章导数的应用3.1罗必塔法则一．教学目的及其重点和难点1．掌握罗必塔法则，并能正确使用罗必塔法则求未定式的极限；2.型、型未定式的极限计算是本节的重点；3．其它未定式的极限计算是本节的难点。二．教学内容由下列两极限（1）；（2）可知，如果当时，函数，则极限可能存在，也可能不存在。通常称这种极限为未定式，记为型，或型。下面介绍求这类未定式的一种有效的方法-----罗必塔法则。3.1.1第一法则（“”型）定理3.1.1如果函数和满足条件：(1)；(2)在附近可导（点可除外），且；(3)。则有。注：（1）如果还是“”型，只要仍满足定
2、理1中的条件，则可连续使用罗必塔法则。依次类推。（2）自变量的变化趋势可改为其他各种形式。例1求。14解。例2求。解。例3求。解。例4求。解。3.1.2第二法则（“”型）定理3.1.2如果函数和满足条件：(1)；(2)在附近可导（点可除外），且；(3)。则有。14注：（1）如果还是“”型，只要仍满足定理1中的条件，则可连续使用罗必塔法则。依次类推。（2）自变量的变化趋势可改为其他各种形式。例5求。解。例6求。解。注意：当导数比的极限不存在时，罗必塔法则失效（不是原极限不存在），应该用其他方法求极限。例7求。解使用罗必塔法则：（后者
3、极限不存在）但：。3.1.3其他未定型（等）转化为前面两种形式，再求极限。例8求。解。例9求。解14例10求。（注意）解例11求。解三、自测题3.11. ．A.1B.－1C.0D.不存在2．_________________．A.1B.－1C.0D.3． ．A.1B.－1C.0D.4．__________________．A.1B.－1C.0D.5．___________________．A.B.C.0D.3.2拉格朗日中值定理及函数的单调性14
4、一．教学目的及其重点和难点1.了解拉格朗日中值定理的条件和结论及几何意义；2.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法；3．函数的单调性的判断是本节的重点和难点。二．教学内容3.2.1拉格朗日中值定理定理1（拉格朗日中值定理）若函数满足：（1）在闭区间[]上连续（2）在开区间（）上可导则至少有一点,使得或.定理的几何意义：如果连续曲线的弧AB上除端点外处处具有不垂直于轴的切线,那未孤上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AB.例1验证函数在区间[]是否满足拉格朗日中值定理的条件？如果满足求出符合定理的值.解在[]上连续,在[]内可导
5、,满足拉格朗日中值定理的条件.因为并且,解方程,得取这说明在[]内有,使3.2.2函数的单调性14定理2(判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内f¢(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f¢(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.说明：判定法中的闭区间可换成其他各种区间。确定函数的单调性的一般步骤是:（1）确定函数的定义域；（2）求出使函数=0和不存在的点,并以这些点为分界点,将定义域分成若干个子区间；（3）确定在各个区间
6、的符号,从而确定的单调性。例1求函数的单调区间.解：(1)的定义域是(2),令得：它们将定义区间划分为三个子区间：(3)列表确定的单调区间：+-+其中符号和分别表示函数在相应区间内是单调增加的和单调减少的。由该表知：函数的单调增加区间为和,单调减少区间为。例2讨论函数的单调性.。解：(1)该函数的定义域为(2)=+=,令=0得,显然x=0为的不可导点,于是x=0,分定义域为三个子区间,,。14（3）列表确定函数的单调性：+-+即在和上单调增加,在上单调减小。三、自测题3.21．函数在[0，1]区间上满足拉格朗日中值定理的_____
7、____．B.C.D.不存在2． 函数在定义域内的单调分界点为 .A.B.C.D.3．函数的驻点是__________________．A.B.C.D.4．下列函数中，在上满足拉格朗日中值定理条件的是_____________．A.B.C.D.5．函数的单调减区间是_______________．14A.()B.()C.（，+）D.（，+）3.3函数的极值与最值一．教学目的及其重点和难点1.理解函数的极值概念；2.掌握利用导数求函数的极值的方法；3．熟练掌握一元函数的最大值与最小值的应用题的求解方法。4.本节重点是最大值
8、与最小值的应用题；难点是函数的极值。二．教学内容3.3.1函数的极值1.函数的极值的定义观察下图,函数在、的函数值、比它们近旁各点的函数值都大,而在点、的函数值、比它们近旁各点的函数值都小.对于这种性质的点和对应的函数值,我们给出如下的定义：定义设
