2019年高考试题汇编理科数学--圆锥曲线.docx

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1、(2019全国1)10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（）A.B.C.D.答案：B解答：由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为.(2019全国1)16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若，则的离心率为.答案：解答：由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，.(2019全国1)19.已知抛物线的焦点为，斜率为的

2、直线与的交点为，，与轴的交点为.（1）若，求的方程；（2）若，求.答案：（1）；（2）.解答：（1）设直线的方程为，设，，联立直线与抛物线的方程：消去化简整理得，，，，依题意可知，即，故，得，满足，故直线的方程为，即.（2）联立方程组消去化简整理得，，，，，，可知，则，得，，故可知满足，.（2019全国2）8.若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则（）A.2B.3C.4D.8答案：D解答：抛物线的焦点是，椭圆的焦点是，∴，∴.（2019全国2）11.设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，

3、若，则的离心率为（）A.B.C.D.答案:A解答：∵，∴,又，∴解得，即.（2019全国2）21.已知点，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线.（1）求的方程，并说明什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.①证明：是直角三角形；②求的面积的最大值.答案：见解析解答：(1)由题意得：，化简得：，表示焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）.(2)①依题意设，直线的斜率为，则，∴，又，∴，∴，即是直角三角形.②直线的方程为，联立，得，则直线，联立直线和椭圆，可得

4、，则，∴，令，则，∴，∵，∴.（2019全国3）10.双曲线：的右焦点为，点为的一条渐近线的点，为坐标原点.若则的面积为（）A:B:C:D:答案:A解析：由双曲线的方程可得一条渐近线方程为；在中过点做垂直因为得到;所以;故选A;（2019全国3）15.设、为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为________.答案：解析：已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为.（2019全国3）21.已知曲线，为直线上的动点.过作的两条切线,切点

5、分别是,,（1）证明：直线过定点;（2）若以为圆心的圆与直线相切,且切点为线段的中点,求四边形的面积.答案：见解析；解答：（1）当点在时，设过的直线方程为，与曲线联立化简得，由于直线与曲线相切，则有，解得，并求得坐标分别为，所以直线的方程为；当点横坐标不为时，设直线的方程为（），由已知可得直线不过坐标原点即，联立直线方程与曲线的方程可得，，消并化简得，∵有两个交点∴，设，，根据韦达定理有，，，由已知可得曲线为抛物线等价于函数的图像，则有，则抛物线在上的切线方程为①，同理，抛物线在上的切线方程为②，联立①

6、，②并消去可得，由已知可得两条切线的交点在直线上，则有，化简得，，∵，∴，即，即为，解得，经检验满足条件，所以直线的方程为过定点，综上所述，直线过定点得证.（2）由（1）得直线的方程为，当时，即直线方程为，此时点的坐标为，以为圆心的圆与直线相切于恰为中点，此时；当时，直线方程与曲线方程联立化简得，，，，则中点坐标为，由已知可得，即，解得，，由对称性不妨取，则直线方程为，求得的坐标为，，到直线距离，到直线距离，则，综上所述，四边形的面积为或.（2019北京）4.已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则A.a2

7、=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率,化简得,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经

8、过y轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x=0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点代入抛物线方程：可得：，故抛物线方程：，其准线方程为：.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，焦点坐标为，设直线方程为，与抛物线方程联立可得：.故：.设，则，直线的方程为，与联立可得：，同理