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《高考数学之不等式放缩常用技巧(带答案).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：奇巧积累:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)一、裂项放缩例1.(1)求的值;(2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以例2.(1)求证:(2)求证:(3)
2、求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例4、已知an=n，求证：＜3．证明：=＜1＋＜１＋==1＋(－)=1＋1＋－－＜2＋＜3．例5、已知数列满足求证：证明:例6.已知,,求证:.解析:所以从而二、函数放缩例7.求证：.解析:先构造函数有,从而所以例8.求证:(1)解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案函数构造形式:,例9.求证:解析:
3、提示:函数构造形式:例10.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:(加强命题)例11.已知证明.解析:,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。于是，即注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即例12.已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立.(I)求证：函数上是增函数；(II)当；(III)已知不等式时恒成立，求证：解析:(I),所以函数上是增函数(II)因为上是增函数,所以两式相加后可以得到(3)……相加后可以得到:所以令,有所以(方法二)所以又,所以三、分式放缩姐妹
4、不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之.例13.姐妹不等式:和也可以表示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即例14.证明:解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有四、分类放缩例15.求证:解析:例16、求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。五、借助数列递推关系例17.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到所以例18.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到例19.若,求证:解析:所以就有六、
5、均值不等式放缩例20.设求证解析:此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例21.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：解析:例22、已知，证明：不等式对任何正整数都成立.证明：要证，只要证.因为，，故只要证，即只要证.因为，所以命题得证.本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.七、经典题目方法探究探究.已知函数.若在区间上的最小值为,令.求证:.证明:首先:可以得到.先证明(方法一)所以
6、(方法二)因为,相乘得:,从而.(方法三)设A=,B=,因为A
