证明数列不等式之放缩技巧

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1、证明数列不等式之放缩技巧证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、利用数列的单调性例1．证明：当时，.证法一：令，则,所以当时，.因此当时，于是当时，证法二：可用数学归纳法证.(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n≥6时，.二、借助数列递推关系例2.已知.证明：.证明：，∴.例3.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l，．(1)试比较与的大小，并说明理由；(2)设数列满足=－，记Sn

2、=．证明：当n≥2时,Sn＜(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)因为所以6,因为所以与同号，因为，…，即（2）当时，，所以，所以.例4.已知不等式其中为不大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正且满足.证明：，.证明：由得：,,,…,,以上各式两边分别相加得：，=，.三、裂项放缩例5.求证:解析:因为,所以6又当时,,当时,,当时,,所以综上有.例6.已知，，求证：．证明：由于．例7.已知，数列的首项.(1)求证：；(2)求证：时.证明：⑴，∵，∴都大于0，∴，∴.（2），∴.故∵,,又∵，∴.∴,∴.四、分类放缩例

3、8.当时，求证:证明:当时不等式显然成立..6例9.已知.证明：对任意整数，有.分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对进行分类讨论，（1）当为偶数时，（2）当是奇数时，为偶数，.所以对任意整数，有。五、利用函数单调性（导数）放缩例10.已知函数,数列满足,;数列满足,.求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.分析：第（1）问用数学归纳法证

4、明；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立；（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,6因为0g(0)=0.因为,所以,即>0,从而(Ⅲ)因为,所以,,所以————①由(Ⅱ)知:,所以=,因为,

5、n≥2,所以<<=————②由①②两式可知:.例11.求证：.证明:先构造函数有,从而因为6所以6