数学：证明数列不等式之放缩技巧

《数学：证明数列不等式之放缩技巧》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、证明数列不等式之放缩技巧证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、利用数列的单调性证法「令c”=哙2(H>6),则洛—C”=(小叮)-斗=四V0,例1・证明：当/?>6,neZH'J',"("+2)<]2〃+i2〃+i所以当H>6时，C”丄]6时，cn

2、则当沪佔1时，伙+1)伙+3)k(k+2)、.伙+1)伙+3)'伙+1)伙+3)?X2k(k+2)<伙+2)2k<1*由⑴、(2)所述,当77^6时，w.22二.借助数列递推关系例2.已知仇=2"—1.证明:1—+a2a3证明：•・•一!一an+l1——；——<—2曲_]22"—1°11I111/1、门12rl2••S=一+一+•••+<一++•••+(—)——=—-[1-(—)]<—•a2a3]a22a22a23235+2工例3.已知函数f(x)二一，设正项数列｛d”｝满足tZj=Lan+i=/(«„)•(1)试比较色与寸的大小，并说明理山；5n1⑵设数列仇｝满足bn=--an,记Sn二

3、工勺.证明：当n22时,S“V—(2”一1).4/=14分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)因为陽>0,%>0,所以16-8art>0,0ci—<0,即av—.1442434"4"”53153(2)当n>2时,b=--a=-(--a,)=-•"4"22-%422-a/r-1亠"=2齢,2--4所以化V2・b“<22•虹2<•<2心b严2宀,冷(―)•1）例4.已知

4、不等式丄+-+•••+丄〉-[log.M],其中〃为不大于2的整数，[log?加表示不n2所以s”f+◎+•••+“<£+*+•••+1-2超过log2n的整数。设列｛an｝的各项为正且满足5=Mb>0),an<(7?>2）.证明:an2+/?[log2n]n=3,4,5•--•证明：由色＜±>_5a>-(7?>2),J心-1h以上各式两边分别相加得:L>1n-12’>111.>—a2ax一丄丄丄+丄+•・•+—]二沁切anhnn-2h22ban<—————(h>3).'2+/?[log2n]三、裂项放缩例5.求证：°+丄+丄+…+丄v?(n+l)(2n+l)49n23解析：因为]]4

5、^"(1)+%(2)+・・・+册(町

6、；=V(1)+V(2)+…2K1+21+2?丿U+221+2?丿丞1+22曲+1丿111<=——21+26例7.t±^f(x)=x2+x,(1)求证:数列匕}的首项①=/(%)•an+l>an；(2)求证：n>6时11.+-：+<21+d]1+^2证明:2・・1an+~an+Cln，・⑷=㊁。2，如，都大于°，.I>0，・•・d”+]>•(2)1°a+aa(A+a)a1+a”+1nfs八人f丿/:n]1+anan1丄•故色+11++…+1+a]1+a；•a2=(~)21<2--1a21+色13+—=—,a24z?+i四.分类放缩+••+=⑷a2a2an%+1⑷绻+1333=(-)2+->

7、l^Vn>2a申〉仏，11=2-'aH-T-1・・・an+i>a3>l.+…+<2.1+1+cin例8.求证：]112342"-1证明：当n=L=2时不等式显然成立.I1111,1,12342"—1丄+4+4)+4+*4+4)+…+(丄+丄十…十丄)2222223232323T2"T71117例9.已知Q"=二[2-2—证明：对任意整数m>4,有一+—+・•・+——<—.3偽5am8分析：不等式左边很复杂，耍设法对左边的