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1、多元函数的极限与连续性多元函数的概念二元函数——n元函数二元函数※函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对应关系.R到R的映射是一元函数,R2到R的映射则是二元函数.定义2设平面点集,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有惟一确定的实数z与之对应,则称f为定义在D上的二元函数(或称f为D到R的一个映射),记作也记作或点函数形式与一元函数相类似,称D为f的定义域;而称为f在点P的函数值;全体函数值的集合为f的值域,记作.通常把P的坐标x与y称为f的自变量,而把z称为因变量.当把和它所对应的一起组成三
2、维数组(x,y,z)时,三维点集便是二元函数f的图象,通常该图象是一空间曲面.例1函数的图象是R3中的一个平面,其定义域是R2,值域是R.例2的定义域是xOy平面上的单位圆域,值域为区间[0,1],它的图象是以原点为中心的单位球面的上半部分.例3是定义在R2上的函数,它的图象是过原点的双曲抛物面.例4是定义在R2上的函数,值域是全体非负整数.例2例3例4※若二元函数的值域是有界数集,则称函数在D上为一有界函数(如例2中的函数).否则,若是无界数集,则称函数在D上为一无界函数(如例1、3、4中的函数).与一元
3、函数类似地,设则有例5设函数(此函数在以后还有特殊用处)试用等高线法讨论曲面的形状.解用为一系列常数)去截曲面得等高线方程当时,得平面上的四条直线当时,由等高线的直角坐标方程难以看出它的形状.若把它化为极坐标方程,即令得到如下一页图所示,为所对应的一族等高线.由此便可想象曲面的大致形状如图所示,坐标原点是曲面的一个鞍点,四道“山谷”与四道“山脊”在鞍点处相汇.n元函数所有n个有序实数组的全体称为n维向量空间,简称n维空间,记作Rn.其中每个有序实数组称为Rn中的一个点;n个实数是这个点的坐标.设E为Rn中的
4、点集,若有某个对应法则f,使E中每一点都有惟一的一个实数y与之对应,则称f为定义在E上的n元函数,记作也常写成或对于后一种被称为“点函数”的写法,它可使多元函数与一元函数在形式上尽量保持一致,以便仿照一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题;同时,还可把二元函数的很多论断推广到元函数中来.多元函数的极限与连续性二重极限累次极限与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础.但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的.返回一、二
5、重极限定义1设二元函数定义在上,为D的一个聚点,A是一实数.若使得当时,都有则称在D上当时以A为极限,记作当P,分别用坐标表示时,上式也常写作例1依定义验证证因为简记为不妨先限制在点(2,1)的方邻域内来讨论,于是有当时,就有这就证得所以例2设证明证(证法一)可知故注意不要把上面的估计式错写成：因为的过程只要求即而并不要求(证法二)作极坐标变换这时等价于(对任何).由于因此，对任何都有下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归结原则(而且证明方法也相类似).定理1的充要条件是：对于D的任一子集E,只要仍是E
6、的聚点,就有推论1若,P0是E1的聚点,使不存在,则也不存在．推论2若是它们的聚点，使得都存在，但,则不存在．推论3极限存在的充要条件是：D中任一满足条件它所对应的函数列都收敛．下面三个例子是它们的应用．例3讨论当时是否存在极限．(注:本题结论很重要,以后常会用到.)解当动点(x,y)沿着直线而趋于定点(0,0)时，由于,因此有这说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在．如图16-15所示,当(x,y)沿任何直线趋于原点时,相应的都趋于0,但这并不表明此函数在时的极限
7、为0.因为当(x,y)沿抛物线趋于点O时,将趋于1.所以极限不存在.例5讨论在时不存在极限．解利用定理1的推论2,需要找出两条路径,沿着此二路径而使时,得到两个相异的极限．第一条路径简单地取此时有第二条路径可考虑能使的分子与分母化为同阶的无穷小,导致极限不为0.按此思路的一种有效选择,是取此时得到这就达到了预期的目的．(非正常极限)的定义．定义2设D为二元函数f的定义域，是D的一个聚点.若使得则称f在D上当时,有非正常极限,记作下面再给出当时,或仿此可类似地定义：例6设.证明证此函数的图象见后面的图.因,故
8、对只需取这就证得结果．二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,特同,这里不再一一叙述.看作点函数别把时,相应的证法也相不存在.观察播放二、累次极限是以任何方式趋于这种极限也称为重极限.下面要考察x与y依一定的先后顺序,相继趋在上面讨论的中,自变量于与时f的极限,这种极限称为累次极限.定义3如果进一步还存在极限累次极限,记作则称此L为先对后对的它一般与y有关,记作类似地可以定义先对y后对x的累次极限:注累次极限与
