2010届高三数学一轮复习精讲精练导数及其应用.doc

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1、第十四章导数及其应用考纲导读1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2.熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)，的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．知识网络高考导航导数的应用价值极高，主要涉及函数

2、单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时变化率与导数、导数的计算基础过关1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的，即＝＝．2．导函数：函数y＝在区间(a,b)内的导数都存在，就说在区间(a,b)内，其导数也是(a,b)内的函数，叫做的，记作或，函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数.3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的.4．求导数的方法(1)八个基本求导公式＝；＝；(n∈Q)＝，

3、＝＝，＝＝，＝(2)导数的四则运算＝＝＝，＝(3)复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导，且＝，即.典型例题例1．求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.解∵Δy=变式训练1.求y=在x=x0处的导数.解例2.求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）解(1)∵∴y′（2）方法一y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二==（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3

4、）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴变式训练2：求y=tanx的导数.解y′例3.已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=

5、x=2=4.∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=

6、=.∴切线方程为即∵点P（2，4）在切线上，∴4=即∴∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x

7、0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k=.答案2或例4.设函数(a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因为a,bZ，故（2）证明在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令x=1，得，切线与直线x=1交点为．令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1

8、)．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解∵f（x）的图象过点P（0，1），∴e=1.①又∵f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.∴b=0，d=0.②∴f（x）=ax4+cx2+1.∵函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）.∴a+c+1=

9、-1.③∵=(4ax3+2cx)

10、x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=，c=.∴函数y=f（x）的解析式为小结归纳1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础.第2课时导数的概念及性质基础过关1．函数的单调性⑴函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为；若＜0，则为.（逆命题不成立）(2)如果在某个区间内恒有，则.注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3)求可导

11、函数单调区间的一般步骤和方法：①确定函数的；②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各小开区间内的，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴极值的概念设函数在点附近有定义，