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《双曲线函数的图像与性质及应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习（ab≠0）的图象、性质与应用．2．1定理：函数（ab≠0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax的值与的值比较，当很大很大的时候，的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax的值；当的值很小很小，几乎为0的时候，ax的值几乎可以
2、忽略不计，起决定作用的是的值．从而，函数（ab≠0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．OxyAA1例1图例1．若函数是双曲线，求实半轴a，虚半轴b，半焦距c，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=x就是实轴了，得出顶点为A（，3），A1（-
3、，-3）；∴a==,由渐近线与实轴的夹角是30º，则有=tan30º,得b=2,c==4,∴F1(2,)F2(-2,-)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P（x,）满足即可；..所以，函数表示的曲线是双曲线．（在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．）2．2五种表现形式表现1：函数（a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：OxyAA1y=ax表现1图渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在和上函数分别是单调递增的，在和上函数分别是单调递减的；在x=处有极大值，在x=处有极小值；值域是．表现2：
4、函数（a<0,b<0）的双曲线大概图象如下：OxyAA1y=ax表现2图渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在和上函数分别是单调递减的，在和上函数分别是单调递增的；在x=处有极小值，在x=处有极大值；值域是．..OxyAA1y=ax表现3图表现3：函数（a>0,b<0）的双曲线大概图象如右：此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵>0，所以，函数在和上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R．表现4：函数（a<0,b>0）的双曲线图象如右：OxyAA1y=ax表现4图此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，∵<0，所以，函数
5、在和上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R．特别，后面两个函数的单调性很“单纯”，在解题时候要引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．表现5：函数(x≠0)是等轴双曲线，以x轴、y轴为渐近线，在两个区间和上函数分别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数2、3应用举例与重点推广这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．例2．已知x>y>0,xy=1,求的最小值及此时x、y的值解：∵x>y>0，∴x-y>0,又xy=1，∴=；解混合式得：所以当
6、：时候，取得最小值为．..例3．求y=(x≥0)解：令x+2=t则x=t-2代入得由x≥0得t≥2,而在上是减函数的，所以y≤-5,值域为例11．已知（1）若a＞0，求的单调区间（2）若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围解：=当＞0时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）（i）当时，显然＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴在要求区间内是单调递增，可知＜0，∴在要求区间内是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）从上面几个例子可以看出，形如或（m≠0,a≠0）函数值域不
7、但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．重点推广：到此我们来看看函数（ad≠bc，a≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？..xyO它可以通过变形化为，继续化为，因此，函数（ad≠bc，a≠0）的图象是可以从的图象通过平移而来的，从而（ad≠bc，a≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有相同的单调性，>0时都是单调递减，<0时都是单调递增．这个函数与函数（a>0,b>0）要与一次函数、
8、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．例4．已知正项数列满足a1=a(0
