微分中值定理.ppt

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1、一、引理二、罗尔定理三、拉格朗日中值定理四、柯西中值定理五、泰勒公式第一节微分中值定理一、引理引理设f(x)在处可导,且在的某邻域内恒有则有.二、罗尔定理定理4.1设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.罗尔定理几何意义：若曲线弧在[a,b]上为连续弧段，在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线，且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同，那么曲线弧段上至少有一点，过该点的切线必定平行于x轴.例如f(x)=

2、x

3、在[－1,1]上连

4、续，且f(－1)=f(1)=1,但是

5、x

6、在(－1,1)内有不可导的点，本例不存在使.又如f(x)=x在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，但是f(0)=0，f(1)=1，本例不存在，使.再如f(x)在(0,1)内可导，f(0)=0=f(1)，但是f(x)在[0,1]上不连续，本例不存在还需指出，罗尔定理的条件是充分条件，不是必要条件.也就是说，定理的结论成立，函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.例如在[0,3]上不满足罗尔定理的条件但是存在，使.三、拉格朗日中值定理定理4.2设函数f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,

7、b)内可导；则至少存在一点分析与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数使在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由能导出则问题可解决.拉格朗日中值定理的几何意义：如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.作辅助函数即可.的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.弦线的方程为证令由于f(x)在[a,b]上连续，因此在[a,b]上连续.由于f(x)在(a,b)内可导，因此在(a,b)内可导.又由于因此在[a,

8、b]上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点，使，即从而有，或表示为上述结论对b

9、.由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得例1选择题.选出符合题意的选项.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有().注意罗尔定理的条件有三个:(1)函数y=f(x)在[a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).分析不难发现，在[－2,0]上不满足连续的条件，因此应排除A.对于，在[－2,4]上连续，在(－2,4)内可导；f(－2)=36，f(4)=0，，因此应排除B.对于f(x)=

10、x

11、，在[－1,1]上连续，在(－1,1)内不可导，因此应排除

12、Ｄ.综合之，本例应单选Ｃ.例2设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点使得分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在　　　　处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.例3选择题.函数在区间[－1,3]上满足拉格朗日中值定理的=().由于在[－1,3]上连续，在(－1,3)内可导，因此f(x)在[－1,3]上满足拉格朗日

13、中值定理条件.分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(－1)=4,而因此有可解得，因此本例应选D.例4试证对于所给不等式，可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctanx.证设f(x)=arctanx,不妨设a0时,试证不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t)在区间[0,x]上满足拉格朗

14、日中值定理