二、方差、协方差、相关系数.ppt

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1、定义1设X为离散型随机变量，其概率分布为如果级数绝对收敛，则称该级数为随机变量X的数学期望，记作EX。如果级数不是绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。1.离散型随机变量的数学期望2.连续型随机变量的数学期望定义2设X～，如果广义积分绝对收敛，则称该积分为随机变量X的是绝对收敛，则称随机变量X的数学期数学期望，如果广义积分不望不存在。也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.常见随机变量的数学期望分布期望概率分布参数为p的0-1分布pB(n,p)npP()分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)3.数学

2、期望的性质设均为常数,则有:性质2性质1性质3性质4性质5性质6设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有4.随机变量函数的数学期望定理1设随机变量Y是随机变量X的函数且EY存在，则(1)若随机变量X是离散型的,（2）若随机变量X是连续型的，且X～则且若X～定理2上一讲我们介绍了随机变量的数学但是在一些场合，仅仅知道平均值是二、方差是随机变量的一个重要的数字特征.期望，它体现了随机变量取值的平均水平，不够的.例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.炮弹，其落点距

3、目标的位置如图：中心中心1.基本概念定义1设随机变量X的数学期望存在，称[注]由于E(X-EX)=EX-EX=0，因此随机X-EX为随机变量X的离差。学期望的偏离程度。离差平方的数学期望来描述随机变量X与数变量的偏差有正有负相互抵消，为此我们用为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.这个数字特征就是我们这一讲要介绍的方差定义2设随机变量X的数学期望存在，称为随机变量X的方差，记作DX。即采用平方是为了保证一切差值X-E(X)都起正面的作用X为离散型，P(X=xk)=pk[注]1）方差是随机变量X的函数g(X)=[X

4、-E(X)]2X为连续型，X~f(x)的数学期望.5）方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.方差越小，说明随机变量X的取值越密集在4）方差是一个常量；3）称方差的算术平方根称为标准差；2）数学期望EX附近；而方差较大，则X的取值比较分散.2.计算方差的一个简化公式D(X)=EX2-[E(X)]2展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=EX2-2[E(X)]2+[E(X)]2=EX2-[E(X)]2利用期望性质2）EX；3）DX.到3张卡片上的最随机抽取3次，用X表示取1张，标有数字2及3的卡片各

5、有2张，从袋中例1袋中有5张卡片，其中标有数字1的卡片有大数字，求1）随机变量X的概率分布；解：1）X的所有可能取值为2，3，例2设R.VX服从几何分布，概率函数为P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0

6、-1分布,则(2)泊松分布(3)均匀分布(5)指数分布(6)正态分布常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p的0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)例1设X～，判定随机变量X的方差不存在。X的方差一定不存在；而X的方差不存在，X的数由此说明：随机变量X的数学期望不存在，则学期望未必不存在。解：所以随机变量X的方差不存在。证例2例3已知X,Y相互独立，且都服从N(0,0.5),求E(

7、X–Y

8、)解故例4求EY,DY解标准化随机变量为X的标准化随机变量.显然，仅知随机

9、变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025与它们有相同的期望,方差但是分布却不同但若已知分布的类型及期望和方差，常能确定分布例5已知X服从正态分布,EX=1.7,DX=3,Y=1–2X,求Y的密度函数解例6已知X的密度函数为其中A,B是常数，且EX=0.5求A,B设Y=X2,求EY,DY解(1)(2)前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机向量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是下面要讨论的三、二维随机向量的协方差与相关系数定义1设X与Y是两个随机变量，且EX，E

10、Y均为X与Y存在，则称的协方差，记作（一）协方差1.基本概念因此,方差是协方差的特例协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关