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1、一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节协方差及相关系数前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的协方差和相关系数1.问题的提出一、协方差与相关系数的概念及性质在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高.为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图。儿子的身高父亲的身高问：
2、父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？fatherson类似的问题有：1、吸烟和患肺癌有什么关系？2、受教育程度和失业有什么关系？3、高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？……???协方差定义对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，则称cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X和Y的协方差。特别,若X=Y,则cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X)因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.可以证明若(X,Y)服从二维正态分布,即则2.定义可见，若X与Y独立，则4.计算协方差的一个简单公式Cov(X,Y)=0.Cov(X,Y)
3、=E(XY)-E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3随机变量和的方差与协方差的关系(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(对称性)5.简单性质(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中a、b是常数下面请大家利用上面所学的知识进行证明。(1)Cov(X,X)=D(X)(2)Cov(X,c)=0(c为常数)协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,
4、但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.为随机变量X和Y的相关系数(correlationcoefficient).1.定义:若D(X)>0,D(Y)>0,且Cov(X,Y)存在时，称在不致引起混淆时，记为.二、相关系数2.相关系数的性质注意
5、ρXY
6、的大小反映了X,Y之间线性关系的密切程度:ρXY=0时,X,Y之间无线性关系;
7、ρXY
8、=1时,X,Y之间具有线性关系.ρXY>0,X,Y正相关ρXY<0,X,Y负相关ρXY≠0,X,Y相关ρXY=0,X,
9、Y不相关(ρXY=1,X,Y完全正相关)(ρXY=-1,X,Y完全负相关)xy0完全正相关Y=aX+ba>0xy0完全负相关Y=aX+ba<0xy0完全不相关xy0正相关xy0负相关例：将一枚密度均匀硬币抛n次，分别以X和Y记作正反面出现的次数，则X和Y的相关系数为A：0B：1C：-1D：1或-1解：因为X＋Y＝n，即P{Y=-X+n}=1，所以X与Y完全负相关，故从而选C。注：若a>0时,ρXY=1a<0时,ρXY=-1则例2(X,Y)的联合分布为:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相关系数ρXY,并判断X,Y是否相关,是否独立.解：X-1
10、01Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81XY-101P2/84/82/8例2(X,Y)的联合分布为:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相关系数ρXY,并判断X,Y是否相关,是否独立.解：从而：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81另一方面：P(X=-1,Y=-1)=1/8≠P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8)所以X与Y不独立.这里可以利用相关系数的定义和微积分的知识可得即为X和Y的相关系数，结论例
11、3解X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关若(X,Y)服从二维正态分布，X,Y相互独立X,Y不相关不相关与相互独立解例4这一讲我们主要介绍了协方差和相关系数，相关系数是刻划两个随机变量间线性相关程度的重要的数字特征,它取值在-1到1之间.如果两个变量之间存在强相关，则已知一个变量的值对预测另一个变量的值将很有帮助,如前面几个引例。小结1.定义2.协方差矩阵例设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.故X和Y的联合分布为正态分布，
