15协方差及相关系数.ppt

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1、协方差及相关系数一、协方差3.计算协方差的一个简单公式1.定义2.简单性质4.随机变量和的方差与协方差的关系5.许瓦兹不等式二、相关系数相关系数的性质四个等价命题前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映各随机变量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的协方差和相关系数任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),定义为⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E

2、(Y)]}1.定义(4)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,a)=0Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)]=E(XY)-E(X)E(Y)即=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系证明：若X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为D(X+Y)=D(X)

3、+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系证明：设(t)=E(X+tY)2，则(t)=E(X2)+2tE(XY)+t2E(Y2)0，其判别式0，即=[2E(XY)]2-4E(X2)E(Y2)0，所以[E(XY)]2E(X2)E(Y2)。5.许瓦兹不等式[E(XY)]2E(X2)E(Y2)协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设D(X)>0,D(

4、Y)>0,称在不致引起混淆时，记为.相关系数的性质：证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y)令，则上式为D(Y-bX)=由于方差D(Y)是正的,故必有1-2≥0,所以

5、

6、≤1。这一性质也可以用许瓦兹不等式证明设U=X-E(X),V=Y-E(Y),由许瓦兹不等式[E(UV)]2E(U2)E(V2)，知[E((X-E(X))(Y-E(Y)))]2E[(X-E(X))2]E[(Y-E(Y))2]所以2XY1,即

7、XY

8、1存在常数a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关

9、.2.

10、XY

11、=1考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差e=E{[Y-(a+bX)]2}来衡量以a+bX近似表示Y的好坏程度,e值越小表示a+bX与Y的近似程度越好.用微积分中求极值的方法，求出使e达到最小时的a,b.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这样求出的最佳逼近为L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是若=0，Y与X无线性关系;Y与X有严格线性关系;若可见,若0<

12、

13、<1,

14、

15、的值越接近于1,Y

16、与X的线性相关程度越高;

17、

18、的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-)3.X和Y独立时，=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y独立.例1设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosX,因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.因Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，E(X)=0，故Cov(X,Y)=0任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),定义为⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y

19、)=Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义(4)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,a)=0Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设D(X)>0,D(Y)>0,称在不致引起混淆时，记为.但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关所以有：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y