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1、第五章矩阵的特征值‘【学习要求及目标】通过本章的学习使学生：（1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念,熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法..（2）了解相似矩阵的概念与性质、矩阵可对角化的充要条件,掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法.（3）了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质.（4了解实对称矩阵可对角化的充要条件,掌握应用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法,即实对称矩阵的对角化方法.山西大学商务学院线性代数§5.1矩阵的特征值与特征向量内容要点:●特征值与特征向量的概念●特征值与特征向量的性质5.1.1特征值与特征向量的概念定5.1.1设
2、是阶方阵,若数和维非零向量，使关系式成立,则称数为方阵的特征值,非零向量称为的属于特征值的特征向量.这个定义告诉我们：1.特征向量一定是非零向量.2.特征向量是属于某一个特征值的山西大学商务学院线性代数3.有了一个特征向量，就可以有无穷多个特征向量.山西大学商务学院线性代数4.若有特征值，则有特征值如何求得矩阵的特征值与特征向量呢？由于是非零向量，故齐次线性方程组有非零解，所以这个式子等价于因而阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解，满足方程的的特都是矩阵征值，那么.的非零解就是特征向量了.定义5.1.2称山西大学商务学院线性代数为矩阵的
3、特征多项式，它是以为未知数的一元次多项式，记为称为矩阵的特征方程根据上述定义，求其特征值与特征向量的步骤如下：山西大学商务学院线性代数⑴从特征方程中解出特征值﹙其中可能有重根﹚⑵设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组则可求得非零解，设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是根据上述定义，求其特征值与特征向量的步骤如下：..不同时为0）例5.1.1求矩阵的特征值和特征向量山西大学商务学院线性代数解所以山西大学商务学院线性代数特征值是对应于求解的基础解系：对应的方程组为解得基础解系：则山西大学商务学院线性代数即为矩阵属于的全部特征向量.当对
4、应于，求解的基础解系：对应的方程组为解得基础解系：则则即为矩阵即为矩阵属于的全部特征向量.例5.1.2求矩阵的特征值和特征向量山西大学商务学院线性代数解山西大学商务学院线性代数所以的特征值是对应于，求解的基础解系对应的方程组为山西大学商务学院线性代数解得基础解系：则是矩阵属于的全部特征向量.当对应于，求解的基础解系：对应的方程组为山西大学商务学院线性代数解得基础解系：则即为矩阵属于特征值的全部特征向量.例5.1.3求n阶数量矩阵的特征值与特征向量解山西大学商务学院线性代数山西大学商务学院线性代数是的n重特征值所以当对应于，求解的基础解系：对应
5、的方程组为解得基础解系：山西大学商务学院线性代数则矩阵属于特征值的全部特征向量.山西大学商务学院线性代数.5.1.2特征值与特征向量的性质性质1设是阶矩阵，则设是的个特征值，则山西大学商务学院线性代数其中的全体特征值的和称为矩阵的迹,记为性质2阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征.值.性质3设是阶矩阵,如果(1)(2)有一个成立,则矩阵的所有特征值的模小于1,即定理5.1.1若是的属于特征值的特征向量，又是属于特征值的特征向量，则.山西大学商务学院线性代数定理5.1.2阶矩阵的互不相等的特征值对应的特征向量线性无关.易见1.属于不同特征值的特征向量
6、是线性无关的;2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.§5.2相似矩阵内容要点：●相似矩阵与相似变换的概念●相似矩阵的性质●矩阵的对角化若方阵能与另一个较简单的方阵建立某种关系，同时又有很多共同的性质，那么我们就可以通过研究这个较简单方阵的性质，获得方阵的性质.山西大学商务学院线性代数5.2.1相似矩阵与相似变换的概念定义5.2.1设都是阶矩阵,若存在阶可逆矩阵使山西大学商务学院线性代数则称矩阵与相似，
7、并称是的相似矩阵,记为对进行运算称为对进行相似变换,称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:(1)反身性:对任意阶矩阵，有相似;(2)对称性:若相似，则与相似，;(3)传递性:若与与相似;相似，;与相似;则5.2.2相似矩阵的性质(1)若阶矩阵相似，则;与;的特征多项式相同,从而的特征值也相等(2)相似矩阵的行列式相等.（同学们自己证明）(3)相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似山西大学商务学院线性代数⑷相似矩阵的秩相等.相似矩阵一定等价，等价矩阵具有相同的秩5.2.3矩阵的对角化若能把方阵相似变换
8、到对角阵，既存在可逆阵，使其中则称方阵可以对角化，否则，就称不能对角化.山西大学商务学院线性代数定理5.2.1n阶方阵可以对角化的充分必要条件方阵A有
