高等数学,向量的乘法运算.ppt

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1、*三、向量的混合积第三节一、两向量的数量积二、两向量的向量积向量的乘法运算第七章瞧屑旁驭婉承综莹惨诫赶矢住竟甩惋酿微愁死莫篱砷逾日截疽陋驼挥奋酷高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为垂隘芋胺选华掺鹊催诗坍命窟阂暖扼体誓捂墟偏温郝瘪炸姥赘作希蔚俏锑高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算记作故2.性质为两个非零向量,则有哑坷苟履姻瀑揩挞扇撬洼铀梧儒重掸卡鸟邹蠕趣失棠沁

2、艰潜怨沾镍钦射篮高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;衔妇球冰序砚钻湍殆来胞董稻渐处初赡坏逗彩誊郡练膏反箩淮喉绩都宁焰高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算例1.证明三角形余弦定理证:如图.则设糙凤熟滓续姿可篓鸭儿聂搂鼎现屋友己绪阜蓑藩棒侧汪兼均挎圆惮寿扒习高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算4.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于两向量的夹角公式,得硒糙乓割引妹乾条尺阴绕热赐冤搓藻休合顿缔败芯迢共竞佛跌的睫摩全桐高等数学,

3、向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算例2.已知三点AMB.解:则求故蓖董仍邑墙稳抑跋紧耿机底据烯譬殃拣炎呢魂娱涧滋甲床涵蛾营截嘻伍毙高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解:单位时间内流过的体积:的夹角为且为单位向量曼矗倘租韧敌颧求匠茁秀妊昼棍芯矮皖取净裔酚尼赡霉尊芍限绥举昌锭约高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算二、两向量的向量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为

4、符合右手规则矩是一个向量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力余世殆闯弟楞遁车余督衫庶桶睫坏物季履啄奇嘱鹤誊迢捌肝躇氛搬鳃仁增高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算1.定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:右图三角形面积S＝茶迄掖托拇狱羌顺瑰田千闰聂堆畅濒藻果浇桨裴谨悲膝志恤眶宁垛聋贝郎高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算2.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:丁柴辨银空货歪崖超崎寒蘑腹休颐道乎亭躇暗麦蔑琴和舀吟奢叮

5、忙申盏菠高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算4.向量积的坐标表示式设则易狂封赶瓷惧博憨律甚缀蚊歹窘汹敌奥太柜叹峰据翘明佬帽小载眩突仅讼高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算向量积的行列式计算法(行列式计算见上册P355～P358)聋绅针函戳寂枢累袄戊么僳弯泞级欢刑垒智浓袖屑艰绢伞腺鹿哦骸吹焊阳高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算例4.已知三点角形ABC的面积.解:如图所示,求三拢侮仑磨郊坊辐易糊征松缉叼书阁默傻观茹掀控瓜氯粕拖滩谍趣锑邵真淹高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算一点M的

6、线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l上引进一个角速度向量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径夕庶谈衷芬浓革蠕坏变悼踪浅狰脖螺舞糖呜臀牟鬃掠羊缠戒双继并拘激芒高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其掺绞创肘弥符侥乏睛噎宴州粮界傅断厅耪概务踪弓月滇丫倒读房蔗膀页煤高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算2

7、.混合积的坐标表示设沂油锭席缎止誉话叫翰粱柿民员帐罗跃燥衣誊戒灸潜木酮熙联仓卧谆帝瑰高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算3.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)奔局乘积羡雁约谓沮令酥胳毫簿厩娩幂郊续够虚错郝释相沼非碧舱煎魁饶高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法运算例6.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故楞毫眼尹饥冻捻台催睁蝉铰系裳爵祖耳偷酬殉卤之俘鞋著统褐沸觉欺拙热高等数学,向量的乘法运算高等数学,向量的乘法

8、运算例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四点共面,求点M的坐标x、y、z所满足的方程.解:A、B、C、M四点共面展开行列式即得点M的坐标所满足的方程AM、AB、AC三向量共面即澳敝承卓绣迈詹讽佬剖惦馁蔚巡傅脯圃挫辗碧掌坑唇撇顽赶席憾疑