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1、微积分I教师：陈新宏单位：数学与计算科学学院1§3.5高阶导数与微分一、高阶导数二、微分2复习：函数求导的基本方法1、求导定义与基本求导公式2、求导四则运算与复合规则3、隐函数求导与对数求导法3一、高阶导数引例，函数二阶导数三阶导数一阶导数4一般地，函数的导数仍是的函数，称的导数为函数的二阶导数记作：或即5二阶导数的导数，叫做三阶导数，记作或三阶导数的导数，叫做四阶导数，记作：或6阶导数的导数，叫做阶导数，记作：或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。一般地，注意记号写法7例1.求解8例2.求解9解求例3.看到4个一循环从而,得10经验求高阶导数一定要找到规律11
2、练习一下1、已知，求解：2、已知，求12解求已知例4（隐函数的高阶导数）难点13例5.若存在,求解提高题目（隐函数的高阶导数）1415一句话：高阶导数就是：导数的导数别忘记了：求n阶导数一定要找到规律161、微分的定义2、微分的几何意义3、基本初等函数的微分公式与微分法则4、微分在近似计算中的应用二、函数的微分17（一）、微分的定义引例.一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由变到问此薄片的面积改变了多少?面积的改变量：当很小时,可以忽略不记,因此,微分18定义设函数在点某邻域内有定义,给一增量仍在该邻域内,若函数相应的增量可表示为其中A是与无关的常数,是比高阶
3、的无穷小.则称函数在点处可微,并称的线性主部为函数在点处的微分,即记作19问题1).函数应具备什么条件,其增量才可表示为的形式?2).式中的A究竟等于什么?20定理函数在点处可微的充分必要条件是函数在点处可导.证(必要性)设函数在点处可微,则有(A与无关)所以函数在点处可导.且且21(充分性)设函数在点处可导,即与无关,是较高阶的无穷小.所以函数在点处可微.由定理可知,若在点处可微,则且22函数在任意点处的微分,称为函数的微分,记作,或即则“微商”2324（二）、微分的几何意义xy0PQTN25函数在点处的微分,是曲线的切线上点的纵坐标相应的增量.当很小时，比小
4、得多，因此，在点M的邻近可用切线段近似代替曲线段.26（三）、基本初等函数的微分公式与微分运算法则根据可得基本初等函数的：1、微分公式27282、微分的四则运算法则：设都可微，则293、复合函数的微分法则：设而所以微分形式的不变性30例1.求解31例2.求解32例3.求解33经验求微分的关键是求导数34练习一下1、已知求解35方程两边求导,得解：已知求例4（隐函数的微分）36（四）、微分在近似计算中的应用由微分定义知,当时,因此,当很小时,有近似公式:即从而得到，近似计算的计算公式：37例5.计算的近似值.解，设则38例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的
5、光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,估计一下每只球需用铜多少克?(铜的密度是解只须求出镀层的体积.它等于两个球体体积之差.镀每只球需用的铜约为:提高题目39小结掌握高阶导数的求法会利用可导与微分的关系求微分两条经验(1).求高阶导数一定要找到规律(2).求微分的关键是求导数4041
