【高中数学选修2-2】3.1复数的概念.ppt

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1、3.1复数的概念及其几何意义9/18/2021只要继续扩大数域。实际上最根本的问题就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于－1。新知引入思考：方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解么？9/18/2021现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样就解决了方程x2+1=0在实数系中无解的问题，即1可以开

2、平方，且－1的平方根为i，所以方程的解为x=i.我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.一.复数的概念由于实数与数i可以进行四则运算，所以实数a与i相加结果记作a+i；实数b与i相乘结果记作bi;实数a与实数b和i相乘的结果相加记作a+bi，等等。从而实数与i进行四则运算的结果都可以写成a+bi(a,b都是实数)的形式。9/18/2021二.复数集复数用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R)，称之为复数的代数形式。复数a+bi(a,b∈R)中实数a与b分别称为复数z的实部与虚部，i是虚数单位，当b=0时，a+bi

3、就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。全体复数所成的集合叫做复数集.用字母C表示.即9/18/2021实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：二.复数集9/18/2021三.复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小(b=0时除外)，只能由定义判断它们相等或不相等。如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.9/18/2021例1.实数m取什么数值时，复数

4、z=m+1+(m－1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；四.例题讲解9/18/2021例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，解得x=,y=4.四.例题讲解9/18/2021xo1你能否找到用来表示复数的几何模型吗？实

5、数可以用数轴上的点来表示。(几何模型)五.复数的几何意义(形)数轴上的点(数)实数一一对应9/18/2021复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复数的一个几何意义五.复数的几何意义9/18/2021xyobaZ(a,b)z=a+bi复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复

6、数的一种几何意义在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样，我们还可以用平面向量来表示复数复数z=a+bi一一对应这是复数的另一种几何意义五.复数的几何意义9/18/2021xyobaZ(a,b)z=a+bi复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)一一对应这是复数的一种几何意义为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或者说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.复数z=a+bi一一对应这是复数的另一种几何意义五.复数的几何意义9/18/2021(A)在复平面内

7、，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。辨析：1．下列命题中的假命题是（）D六.巩固练习9/18/20212．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件C六.巩固练习9/18/20213.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。六

8、.巩固练习9/18/20214.证明复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点不可能位于第四象限。不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限.六.巩固练习9/18/2021课堂小结：一.复数的相关概念二.复数的两种几何意义9/18/2021