4·3不定积分的换元积分法与分部积分法.ppt

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1、4·3不定积分的换元积分法与分部积分法案例研究案例4.3.1太阳能的能量：湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege某一太阳能的能量f相对于太阳接触的表面面积的变化率为且当时，试求f的函数表达式.分析该问题实际上是求不定积分湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege案例4.3.2天然气的产量：湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege工程师们发现，

2、一个新开发的天然气井t月的总产量P（单位：）的变化率为试求总产量函数分析该问题实际上是求不定积分问：以上两个案例，实际上是需要解决什么问题？湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege抽象归纳第一类换元积分法例求积分问：你能验证上式的正确性吗？湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege结论若所求的积分中的被积函数可化为则有通常把这种求不定积分的方法叫做第一类换元积分法．湖南对外经济贸易职业学院HunanForeig

3、nEconomicRelations&TradeCollege问：上述四步中，关键是哪一步？关键：选择适当的变量代换将凑成因此第一类换元法又叫凑微分法．湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例1求解简写为：湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege案例4.3.1的解将时，代入上式，得所以，所求f的表达式为湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeColleg

4、e例2求解课堂训练：.湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例3求解湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege因为所以利用例3的结论，可求得湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例4求解湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例5求解湖南对外经济贸易职业学院HunanFor

5、eignEconomicRelations&TradeCollege第二类换元积分法例求积分分析设于是湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege结论：这种求不定积分的方法叫做第二类换元积分法.湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例6求解设即于是再将代回后整理，得湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例7求解设则湖南对外经济贸易职业学院Hu

6、nanForeignEconomicRelations&TradeCollege因为则代入上式得本题中的变量代换称为三角代换.利用三角代换，可求解含有的函数的积分问题.及湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege分部积分法例求积分分析这类积分是两类函数的乘积，不便于用上述方法求积分。下面我们研究一种新方法。两边积分，得即湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege上述公式称为分部积分公式，用分部积分公式求积分的方法

7、称为分部积分法.上式可改写为：分部积法的步骤：问：分部积分法的基本思想是什么？（转化）将一个函数的积分问题转化为另一个函数的积分问题，从而求得其解。湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例8求解讨论求上述积分时，若将x凑微分，可以求出积分吗？凑微口诀：指三幂对反湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege案例4.3.2的解依题意，当时，代入上式，得湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomic

8、Relations&TradeCollege例9求解湖南对外经济贸易职业学院HunanForeignEconomicRelations&TradeCollege例1