经济学专业数学不定积分的换元积分法与分部积分法配套课件.ppt

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1、复习引入(Introduction)在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质”给出了“基本积分公式表”。但是，对于形如这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。为此，……7/31/20211第三节换元积分法与分部积分法第四章一、换元积分法二、分部积分法三、小结与思考题7/31/20212设可导,则有基本思路7/31/20213一、第一类换元积分法定理1则有换元公式(也称配元法,凑微分法)7/31/20214解7/31/20215解所以31七月20216解7/31/20217例4求答案：例5求例6求答案：例7求答案:例8

2、求答案：或7/31/20218答案：答案：答案：答案：答案：自学课本例147/31/20219万能凑幂法常用的几种配元形式:7/31/20211031七月202111二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则用第二类换元积分法.难求，7/31/202112是单调可导函数,且具有原函数,证:令则则有换元公式定理2设7/31/202113解:令则∴原式例14求7/31/202114解:令则∴原式例15求7/31/202115解:令则∴原式例16求7/31/202116令于是7/31/202117或从上面三个例子，可以看出如果被

3、积函数含有：可作代换可作代换可作代换7/31/202118解于是7/31/202119常用基本积分公式的补充31七月2021207/31/202121新知识引入(Introduction)前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法”。但是，对于形如的积分用直接积分法或换元积分法都无法计算.注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点——都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，7/31/202122积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.由导数乘

4、法公式：7/31/202123第四章（IntegrationbyParts）例18求解:令则∴原式另解:令则∴原式三、分部积分法答案31七月202124解原式解.7/31/202125解:令则原式=例22求7/31/202126解7/31/202127解:令则∴原式例24求7/31/202128解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一致.例25求自学课本例26、287/31/202129解:令则原式令例26求7/31/202130把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例5（补充题）求

5、解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数解题技巧:（自学课本例5～6）7/31/202131解:令,则原式=例6（补充题）求7/31/202132本节小结2.分部积分公式(1)使用原则:易求出,易积分(2)使用经验:“反对幂指三”,前u后(3)题目类型:分部化简;循环解出;递推公式1.换元积分法7/31/202133课后练习习题4-32单数;3单数思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?7/31/2021342.下列积分应如何换元才使积分简便?令令令7/31/2021353.求下列积分:7/31/202136

6、4.下述运算错在哪里?应如何改正?得0=1答:不定积分是原函数族,相减不应为0.求此积分的正确作法是用换元法.7/31/202137求不定积分解：利用凑微分法,原式=令得5.7/31/202138