第四章_静态场的解.ppt

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1、第四章静态场的解§4.1、边值问题的分类§4.2、唯一性定理§4.3、镜像法§4.4、分离变量法§4.1边值问题的分类数理方程描述物理量随空间和时间变化的规律。方程的解取决于物理量的初始值与边界值，初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，又称为定解条件。稳恒电磁场的场量与时间无关，其位函数满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅由边界条件决定。根据给定的边界条件求解空间任一点的位函数就是稳恒场的边值问题。2、第二类边值问题：给定整个边界上每一点的位函数的法向方向导数，即1、第一类边值问题：给定整个边界上每一点的位函数值，即三类边值问题已知已知其中S为边界。(1)其中S为边界。(2)3、第

2、三类边值问题：给定一部分边界上的电位，同时给定另一部分边界上电位的法向方向导数。给定导体表面上的总电量也是第二类边值问题。因为导体表面上的电荷密度为：所以得导体表面上的总电量为：已知（3）4.2,1、格林公式令矢量函数为其中与均为标量函数！§4.2唯一性定理1、格林第一恒等式散度定理：（a）（b）将式(b)代入式(a)，得：是闭合面的外法向，体积V的闭合边界面S。（1）因为（c）（d）将式(d)代入式(c)，得：（2）式(a)与式(b)相减，得交换式(a）中与，得（b）（a）2、格林第二恒等式格林第一恒等式：4.2.2、唯一性定理已知空间各点的电荷分布和边界上的电位满足边界条件（第一

3、类、或第二类、或第三类边界条件），空间各点的电位唯一地确定！下面以第一类边值问题为例来证明唯一性定理。用反证法证明：设区域V内有两个不同的解和！它们都满足相同的泊松方程：唯一性定理：在V的边界S上，和满足相同的边界条件：令，在V内，由式(a)中两式相减得：在边界面，由式(b)中两式相减得：（a）（b）（c）（d）在格林第一等式中，令，则将式(c)代入式(e)，得：（e）（f）将式(d)代入式(f)，得：（g）式(g)中被积函数为零：即为同一个解！得证（i）将式(i)代入式(d)得常数为零，再将代入式(i)得（1）式(h)导致：（h）§4.3镜像法1、镜像法是求解静电场和静磁场边值问题的

4、一种简单方法！2、镜像法：满足给定边界条件下，用一个或几个点电荷或线电荷(镜像电荷)代替(等效)导体表面上感应电荷!!！3、镜像法的关键：根据给定边界条件，确定像电荷的位置和电量!!像电荷只能出现在求解问题的区域外面！感应电荷导体rP例1、教材P.82求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点电荷q的电位。4.3.1平面镜像法P----------------------------------一个镜像电荷·解：用镜像点电荷-q代替感应电荷-q！在导体表面上,点电荷q和镜像点电荷-q产生的电位为零！满足给定的边界条件！任一点P的电位由点电荷q和镜像点电荷-q共同产生！即在任一点P

5、，点电荷q和镜像点电荷–q产生电场：由式(a)中得导体表面的面电荷密度：由式(b)得导体表面的总感应电荷：（a）（b）例2、教材P.83求相互正交的两个无限大接地导体平面上的镜像电荷和电场。三个镜像点电导体表面感应电荷-q三个镜像点电荷代替导体表面感应电荷！在导体表面上,点电荷q和三个镜像点电荷产生的电位为零！满足给定的边界条件！···----------------------三个镜像点电荷导体表面感应电荷-q···解：P点的电场由点电荷q和导体表面的感应电荷-q共同产生。任一点P的电位由点电荷q和三个镜像点电荷共同产生！即---------------------q/3

6、/3q夹角为的两个导体板，用几个镜像电荷来代替导体表面上的感应电荷!例如，夹角为的两个导体板，用5个镜像电荷来代替导体表面的感应电荷。镜像电荷--------------------------------------导体表面感应电荷-q4.3.2、球面镜像法例1、教材P.84半径为a的接地导体球，一点电荷q位于距球心d处（d>a)，求球外任一点的电位。dqo解：用一个镜像负电荷q′代替球面上负感应面电荷，q′离球心距离为b。在导体表面上,点电荷q和镜像点电荷q′产生的电位为零！满足给定的边界条件！Pabrq镜像电荷球面上A点电位为零：解式（a）得：球面上B点电位为零：（2）（

7、a）球外P点的电位由电荷q和镜像电荷q′产生：（1）讨论：1、导体球不接地，不带电！球面是等位面！导体球上总感应电荷为零！用两个等效电荷：一个是q′，其位置和大小由上式(1)确定；另一个是q″,q″=-q′位于球心。将式（2）代入式（1）得球外P点的电位。qO导体球adSqbq2、导体球不接地，且带电荷Q！球面是等位面！用两个等效电荷：一个是q′，其位置和大小由上式(1)确定；另一个是q″,q″=Q-q′=Q+qa/d位于球心。q