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《2020版高考数学大二轮复习5.3空间向量与立体几何学案理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲 空间向量与立体几何考点1 向量法证明平行与垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量分别为u＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．(1)线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a2＝ka3，b2＝kb3，c2＝kc3.(4)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.[例1] [2019·甘肃
2、兰州质检]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.求证：(1)B1D⊥平面ABD；(2)平面EGF∥平面ABD.【证明】 (1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝
3、0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)，则＝，＝(0,1,1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.利用空间向量证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点
4、、直线、平面中的要素；(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题.『对接训练』1．[2018·山东聊城模拟]如图，在直三棱柱ADE－BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点，运用向量方法证明：(1)OM∥平面BCF；(2)平面MDF⊥平面EFCD.证明：由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)
5、，M，O.(1)＝，＝(－1,0,0)，所以·＝0，所以⊥.因为棱柱ADE－BCF是直三棱柱，所以AB⊥平面BCF，所以是平面BCF的一个法向量，且OM⊄平面BCF，所以OM∥平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．因为＝(1，－1,1)，＝(，－1,0)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，由n1·＝n1·＝0，得解得令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．因为n1·n2＝0，所以平面MDF⊥平面EFCD.考点2 向量法求空间角
6、1．向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝
7、cos〈a，b〉
8、＝.2．向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝
9、cos〈n，a〉
10、＝.3．向量法求二面角求出二面角αlβ的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角αlβ所成的角θ为锐角，则cosθ＝
11、cos〈n1，n2〉
12、＝；若二面角αlβ所成的角θ为钝角，则cosθ＝－
13、cos〈n1，n2〉
14、＝－.[例2] [2019·浙江卷]如图，已知三棱柱ABC－A1B1
15、C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．(1)证明：EF⊥BC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．【解析】 本题主要考查空间直线与直线垂直的证明及直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．解法一：(1)如图，连接A1E，因为A1A＝A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩
16、平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB，∠ABC＝90°，故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．连接A1G交EF于O，由(1
