2019年高考数学大二轮复习专题五空间几何5.3空间向量与立体几何练习

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1、5.3空间向量与立体几何【课时作业】A级1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,点D在棱BB1上,若BD=3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为(  )A.B.C.D.解析: 如图,可得·=(+)·=·=4×2×=12=5×2×cosθ(θ为与的夹角),所以cosθ=,sinθ=,tanθ=,又因为BE⊥平面AA1C1C,所以所求角的正切值为.答案: D2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将△ABE,△DCE翻折,使得点A,D重合于F,此时二面角EBCF的余弦值为(  )

2、A.B.C.D.解析: 如图所示,取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,∴PF⊥BC,又EB=EC,∴EP⊥BC,∴∠EPF为二面角EBCF的平面角,而FP==,在△EPF中,cos∠EPF===.7答案: B3.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的直角三角形,则实数x的值为________.解析: 由题意得=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),·=(6,-2,-3)·(x-4,3,-6)=6(x-4)-6+18=0,解之得x=2.

3、答案: 24.已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上,球O的体积V球=,则OA与平面ABCD所成的角的余弦值为________.解析: 如图,过点O作OM⊥平面ABCD,垂足为点M,则点M为正方形ABCD的中心.∵正方形ABCD的边长为2,∴AC=2,∴AM=.∵V球=πr3=,∴球O的半径OA=r=2,∴OA与平面ABCD所成的角的余弦值为cos∠OAM===.答案: 5.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=,E,F分别是BC,A1C的

4、中点.(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;(2)点M在线段A1D上,=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.解析: (1)因为由题意知四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱,A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.7在菱形ABCD中,∠ABC=,则△ABC是等边三角形.因为E是BC中点,所以BC⊥AE.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.故建立如图所示,以A为原点,AE为x轴,AD为y轴,AA1为z轴的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,

5、0),A1(0,0,2),E(,0,0),F.=(0,2,0),=,cos〈,〉===,所以异面直线EF,AD所成角的余弦值为.(2)设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且=λ,则(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).则M(0,2λ,2-2λ),=(-,2λ-1,2-2λ).设平面AEF的一个法向量为n=(x0,y0,z0).因为=(,0,0),=.由得x0=0,y0+z0=0,取y0=2,则z0=-1,则平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).由于CM∥平面AEF,则n·=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解

6、得λ=.6.(2018·洛阳市第一次统考)如图,在四棱锥PABCD中,E,F分别是PC,PD的中点,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PD=2,且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证:平面AEF⊥平面PCD;7(2)求平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值.解析: (1)证明:由题意知,PA=PD=AD,F为PD的中点,可得AF⊥PD,∵平面PAD⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD.又AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF,又CD∩PD=D,∴AF⊥平面PCD,又AF⊂平面AEF,∴平面AEF⊥平面PCD.(2)取AD的

7、中点O,BC的中点G,连接OP,OG,∵PA=PD=AD,∴OP⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,OP⊂平面PAD,∴OP⊥平面ABCD.分别以OA,OG,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A(1,0,0),C(-1,2,0),E,F,=,=(0,1,0).设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则即可取m=(1,0,),为平面AEF的一个法向量.同理,可得平面ACE的一个法向量为n=(,,1).cos〈m,n〉===.∴平面AEF与平面ACE所成锐二面角的余弦值为.B级1.(2018·北京卷)如

8、图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=,AC=AA1=2.(1)求证:AC⊥平面BEF;7(2)求二面角BCDC1的余弦值;(3)证明:直线FG与平

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