2020版高考数学二轮复习专题限时集训10圆锥曲线的定义、方程及性质文.docx

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1、专题限时集训(十)　圆锥曲线的定义、方程及性质[专题通关练](建议用时：30分钟)1．(2019·合肥模拟)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)A.－＝1　B.－＝1C.－＝1D．x2－＝1A　[由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝x＝x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)A．2

2、sin40°B．2cos40°C.D.D　[由题意可得－＝tan130°，所以e＝＝＝＝＝.故选D.]3．[一题多解](2019·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)在C上，

3、AF

4、＝3.若直线AF与C交于另一点B，则

5、AB

6、的值是(　　)A．12B．10C．9D．4.5C　[法一：因为A(1，a)(a＞0)在抛物线C上，所以a2＝8，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故直线AF的方程为y＝－2(x－2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得

7、BF

8、

9、＝4＋2＝6，所以

10、AB

11、＝

12、AF

13、＋

14、BF

15、＝9，故选C.法二：因为直线AB过焦点F，所以xAxB＝p2＝4，又xA＝1，所以xB＝4，所以

16、AB

17、＝

18、AF

19、＋

20、BF

21、＝xA＋xB＋4＝9，故选C.]4．(2019·青岛模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.C　[如图，由

22、AB

23、＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以

24、＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.]5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若

25、OP

26、＝

27、OF

28、，则△OPF的面积为(　　)A.B.C.D.B　[由F是双曲线－＝1的一个焦点，知

29、OF

30、＝3，所以

31、OP

32、＝

33、OF

34、＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，则解得所以P，所以S△OPF＝

35、OF

36、·y0＝×3×＝.故选B.]6．(2019·延安一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作直线l交抛物线C于A，B两点，若

37、AF

38、＝，

39、BF

40、＝2，则p＝

41、________.1　[如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵

42、AF

43、＝，

44、BF

45、＝2，∴根据抛物线的定义可得x1＝－，x2＝2－，∴＝＝＝，∴9＝2－，∴p＝1.]7．(2019·长春模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且

46、OF

47、＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．＋＝1　[∵F为椭圆的右焦点，

48、OF

49、＝，∴c＝.设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，∵A，B为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，∴A是长轴右端点，＋＝1，∴yM＝，

50、∴M.∵A(，0)，B(0，b)，∴C.∵kOM＝kOC，∴＝，∴b＝.∴所求椭圆方程是＋＝1.]8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．(3，)　[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．][能力提升练](建议用时：15分钟)9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的

51、焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝－1上的点，且FP⊥FQ，求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．[解]　(1)抛物线C的准线方程为x＝－，所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点．理由如下：设点P，点Q(－1，m)．由(1)得焦点F(1,0)，则＝，＝(－2，m)，由题意可得·＝0，故－2＋my0＝0，从而m＝.故直线PQ的斜率kPQ＝＝.故直

52、线PQ的方程为y－y0＝，得x＝－.①又抛物线C的方程为y2＝4x，②所以由①②得(y－y0)2＝0，故y＝y0，x＝.故直线PQ与抛物线C只有一个交点．10．(2019·永州三模)已知椭圆E：＋＝1(a＞