高等工程数学课件--3.1 拓扑空间.ppt

《高等工程数学课件--3.1 拓扑空间.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、3.1拓扑空间3.2度量空间3.3赋范空间3.4内积空间5.5辛空间第3章拓扑结构与度量空间3.1.1拓扑空间的基本概念3.1拓扑空间定义3.1.1设X是一个非空集合，是X的某些子集为元素构成的集合。如果满足如下条件：(2)对任意个对有限个则称为X上的一个拓扑，中的元素称为开集，X连同其上拓扑一起称为拓扑空间，记为。例3.1.1实数集上的拓扑例3.1.2上的拓扑例3.1.3设X是一个非空集合，，则是一个拓扑空间，称之为平凡拓扑空间。例3.1.4设X是一个非空集合，，则是一个拓扑空间，称之为离散拓扑空间。定义3.1.2设X是一个非空集合，是X上的两个拓扑,如果，则称

2、拓扑弱于（或强于）。例3.1.5设，是X上的一个拓扑。a的邻域系为,a的开邻域为。定义3.1.3设是一个拓扑空间，，若存在，使得，则称x是U的内点,并称U是x的一个邻域。x的所有邻域称为x的邻域系。包含x的开集称为x的开邻域。定义3.1.4设是一个拓扑空间，是一序列，。如果任给x的邻域U，都存在正整数N，当时，有，则称x是序列的极限,或称收敛于x，记为或注意：在拓扑空间中，收敛序列的极限可能是不唯一的。例如，平凡拓扑空间任意序列都收敛于该空间的任一点。例3.1.6设是拓扑空间，对任意，则开区间簇是x的邻域基。定义3.1.5设是一个拓扑空间，，是x的一些邻域所作成的

3、集合。若对x的任一邻域U，都有，使得，则称是x的邻域基。在拓扑空间中,所有开区间的集合是基。定义3.1.6设是一个拓扑空间，如果存在一簇开集，使得对任意，有，则称是拓扑空间的拓扑基，简称为拓扑空间的基。定理3.1.1设是一个拓扑空间，，则是拓扑空间的基当且仅当对任意，存在，使得定理3.1.2设X是一个非空集合，是X的一簇子集。如果满如下条件：对，，存在使则是X上的拓扑，并且是X上唯一一个以为基的拓扑；反之，如果是X上某个拓扑的基，则必满足条件(1)和(2)。定义3.1.7设是一个拓扑空间，如果x的每个邻域都含有A中异于x的点，则称x是A的一个极限点。A的全体极限点

4、构成的集合称为A的导集，记为。集合称为A的闭包。如果A的每个极限点都属于A，则称A为闭集。例在拓扑空间中，，0是A的一个极限点，A不是闭集。定理3.1.3设是一个拓扑空间，则A是闭集当且仅当定理3.1.4设是一个拓扑空间，则A是闭集当且仅当是开集。定理3.1.5设是一个拓扑空间，则都是闭集；(2)X中有限个闭集的并是闭集；(3)X中任意个闭集的交是闭集。任一拓扑空间中，既是开集又是闭集。离散拓扑空间中的任一子集既是开集又是闭集。在拓扑空间中有既不是开集、又不是闭集的集合。3.1.2子拓扑空间与积空间定义3.1.8设为拓扑空间，为非空子集，令称为的子拓扑空间或拓扑子

5、空间，并称为诱导的拓扑。规定：W是拓扑空间X的子拓扑空间意指W上的拓扑由X上的拓扑所诱导。定理3.1.6设是拓扑空间，则(1)W的子集M是开集存在X中的开集A,使；(2)W的子集V是闭集存在X中的闭集B,使；(3)如果是X的拓扑基，则为W的拓扑基；(4)设，如果为x在X中的邻域基，则为x在W中的邻域基。设是两个拓扑空间，记一般说来，不是上的拓扑。例在拓扑空间中，中不能表示为设是两个拓扑空间，令由定理3.1.2知，是上的拓扑，并且是上以为基的拓扑。定义3.1.9设是两个拓扑空间，并且,称为上的积拓扑，并称为乘积拓扑空间，简称为积空间。3.1.3连续映射与同胚定义3.

6、1.10设是两个拓扑空间，分别简记为X和Y，映射如果在Y中的任何邻域U的原像都是在X中的邻域，则称f在点连续。如果Y中任何开集V的原像都是X中的开集，则称f为X到Y的连续映射。定理3.1.7设X，Y是两个拓扑空间，映射，则下列叙述等价：（1）f为X到Y的连续映射；（2）Y中的任何闭集B的原像都是X中的闭集；（3）f在X中每一点都连续。注意：连续映射下开集的像不一定是开集、闭集的像也不一定是闭集。定理3.1.8定义3.1.11设X，Y是两个拓扑空间，映射是双映射，如果都是连续映射，则称f是X到Y的同胚映射。如果存在X到Y的同胚映射，则称X和Y是同胚的或同构的。