湘教版九年级数学上册3.4.1相似三角形的判定.ppt

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1、相似三角形的判定与性质本课内容本节内容3.4——3.4.1相似三角形的判定在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.为了研究满足什么条件的两个三角形相似，我们先来研究下述问题.动脑筋如图，在△ABC中，D为AB上任意一点.过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？（2）分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？（3）△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？我发现只要DE∥BC，那么△ADE与

2、△ABC是相似的．在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.下面我们来证明：如上图所示，过点D作DF∥AC，交BC于点F.∵DE∥BC，DF∥AC，∴F∵四边形DFCE为平行四边形，∴DE=FC.∴△ADE∽△ABC.∴F结论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.由此得到如下结论：举例例1如图，在△ABC中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点.求证：△ADE∽△ABC.∴△ADE∽△ABC.证明∵点D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE∥BC.举例例2如

3、图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.证明∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，∴AE=CE.又DE=FE，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△CFE．∴△CFE∽△ABC．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，练习如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．正方形EFCD的三个顶点E、F、D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长．1.解△ADE∽△ACB.由已知条件易知BC∥ED,由相似三角形的判定定理可得∴

4、设正方形EFCD的边长为x,则有答：正方形EFCD的边长为3.解得如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.2.解∵∴△AEO∽△ABC，△AFO∽△ADC.∴又∴四边形AEOF∽四边形ABCD.解OE∥BC，OF∥CD，解∵解动脑筋任意画△ABC和△，使∠A=∠，∠B=∠.（1）∠C=∠吗？（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？我发现这两个三角形是相似的.在△

5、的边上截取点D，使=AB.过点D作DE∥，交于点E.下面我们来证明：DE如图，在△ABC与△中，已知，∠B=∠.∠A=∠在△ABC与△DE中，∵，=AB，∠=∠=∠B，∠A=∠又DE∥B′C′，∽△△∴∴△ABC△△ABC△∽∴结论由此得到相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.举例例3如图，在△ABC中，∠C=90°．从点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H．求证：△DEH∽△BCA．举例证明∵∠C=90°，DF⊥BC，∴∠BHF=∠A，∴∠DHE=∠A.又∠DEH=90°=∠C

6、，DF∥AC.∴∴△DEH∽△BCA（两角分别相等的两个三角形相似.)举例例4如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°．若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长．例4∴EF=2.4.∴△ABC∽△DEF.∴又AB=5，BC=4，DE=3，∵∠C=90°，∠F=90°，∠A=∠D，解练习如图，点E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.请指出图中有几对相似三角形，并说明理由.1.答：有三对相似三角形.即△CEF∽△BEA.△ADF∽△EBA,△ADF∽△ECF,理

7、由是每组三角形中有两个角分别相等.Rt△ABC∽Rt△ACD.∴∴∴解∵∠ACB+∠A=90°，∠ACB+∠ECD=90°，2.如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED=1，BD=4，求AB的长．∴∠A=∠ECD.任意画△ABC和△，使∠A=∠A′，（1）分别度量∠B和∠，∠C和∠的大小，它们分别相等吗？（2）分别量出BC和的长，它们的比等于k吗？（3）改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？动脑筋我发现这两个三角形是相似的.在△的边上截取点D，使=AB.过点D作DE∥，交于点

8、E.下面我们来证明：DE如图，在△ABC与△中，已知∠A=∠A′，∴∴∽△△∴∵DE∥，又∴=AC.∴△ABC∽△A′B′C′.∴△A′DE≌△ABC.∵结论两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.结论由此得到相似三角形的判定定理2：例5举例如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70