线性代数1.2.ppt

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1、第二节n阶行列式的定义为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义对行列式中元素，第一个下标i表示元素所在的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列，称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下特点：（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为不同行不同列的三个元素的乘积；（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符号为负；（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排列，则每一项元素的列标排列分别为123,231,312以及321,213,132,恰好是1、2、3这三个数的所有可能的排列。（4）排列123

2、,231,312的逆序数分别为0,2,2,而排列321,213,132的逆序数分别为3,1,1,即在6项求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇排列时，则该项的代数符号为负。因此，我们可以把三阶行列式的定义写成其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号Σ表示连加。完全类似，我们可以定义n阶行列式。定义1设有个数，排成n行n列的数表作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号,得到形如(1)的项，其中为自然数1，2，……，n的一个全排列，t为这

3、个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个,因此形如（1）式的项共有n!项。所有这n!项的代数和称为n阶行列式（determinant），记为或者简记作Δ（）或者det()。数称为行列式Δ()的元素。显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列式与我们前面所说的定义是一致的。以后为方便起见，我们称行列式中为行列式的主对角线，而称的线段为行列式的次对角线或副对角线。例1证明主对角行列式（其中对角线上的元素为其余的元素为0）的值为次对角行列式（其中对角线上的元素为，其余的元素为0）的值为证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结果。根据行列式的定义其中t为n(n-1)

4、……21的逆序数，因此由第一节的例2可知t＝n(n－1)/2。例2证明下三角行列式证：由于当j>i时，，因此行列式的求和表达式中可能不为0的项的n个因子的下标应有即而在所有排列中，能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以行列式中可能不为0的项只有一项，即,这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以例3设证明记，其中考察D的一般项由于当i≤k，j>k时，，因此，只有在1,2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据行列式的定义，当在1,2，…，k中选取时，只能在k+1,k+2，…，k+n中选取。于是D中可能不为0的项可以记为这里，，而t为排列的逆序数。

5、以s、m分别表示和的逆序数，则显然有t＝s＋m。因此