线性代数复习提要.pptx

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1、第一章行列式2个定义：直接算式法（逆序数）；递归法（余子式、代数余子式）例：5个性质：（1）行列互换之后，行列式的值不变（2）线性性质：求和、数乘（3）倍加性质（4）反对称性质（5）递归法的完整表述具体阶数行列式的计算：降阶法(自己找习题练习)基本结论（1）（2）范德蒙行列式（3）克拉默法则：处理方程个数与未知量个数相等的线性方程组若系数行列式不等于0，则方程组有唯一的解阶行列式的计算：P3528，29，30P3741，42，43第二章矩阵矩阵的乘法运算逆矩阵（1）单边定义：只要两个方阵相乘等于单位矩阵，则称这两个方阵

2、互为逆矩阵。单边蕴含着双边。（2）（3）运算规律：（4）初等变换法求逆矩阵、解矩阵方程(a)(b)(c)初等变换、初等矩阵的基本知识（1）定义：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（2）作用：初等矩阵乘在普通矩阵的左边：行变换初等矩阵乘在普通矩阵的右边：列变换例：设为3阶方阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵，记，则为（）（3）三类初等矩阵的逆分块矩阵的乘法可乘的要求第三章线性方程组3个定义：线性表出转化为方程组是否有解的问题线性相关、线性无关转化为齐次线性方程组有非零解还是只有

3、零解的问题2个性质（i）线性相关：部分推整体；线性无关：整体推部分（ii）线性相关仍线性相关线性无关仍线性无关Q：给你一个向量组，如何用定义法证明它线性无关？（找两道习题练习一下）3个判定定理（1）一个向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性表出。（2）线性无关，线性相关，结论：可由唯一线性表出。（3）若可由线性表出，且，结论：线性相关。注意它们各自逆否命题的表述形式。向量组的秩Q:给定一个向量组，是否会求这个向量组的一个极大线性无关组？求向量组的秩？将剩余向量用找到的极大线性无关组线性表出？矩阵的

4、秩（1）行秩=列秩=非零子式的最高阶（2）性质：；（3）3个等价定义：满秩，非奇异，可逆齐次线性方程组求解理论：一般解，其中为任意常数，为的一个基础解系。非齐次线性方程组求解理论：一般解，其中为任意常数，为一个特解，为导出组的一个基础解系。Q：给你一个含参数的非齐次线性方程组，是否会求解？基本结论1.2.若是的一个基础解系，为的一个特解，则为的一个基础解系。的每一列都是齐次线性方程组的解，可推出(是的列数)4.极大线性无关组、基础解系、向量空间中的一组基第四章向量空间与线性变换向量空间、基、坐标过渡矩阵内积：施密特正交

5、化公式正交矩阵定义、性质第五章特征值和特征向量矩阵的对角化特征值、特征向量（1）定义：（2）求解方法：（i）求其互不相同的特征值，标明各自重数（ii）求对应于特征值的特征向量（3）性质（a）结构性质：（b）计算性质1：计算性质2则Q：的特征值1，-1，2普通方阵的对角化理论（1）普通方阵不一定可对角化。阶方阵可对角化当且仅当是有个线性无关的特征向量，当且仅当每个特征集合基础解系中解向量的个数等于对应特征值的重数。Q：给定一个普通方阵，如何判断它是否可对角化，若可对角化，写出对角化的过程，求出相应的，若不可对角化，说明理

6、由。（2）对一般方阵来说，它的属于不同特征值的特征向量线性无关。实对称方阵的对角化理论（在这里用到施密特正交化）（1）实对称方阵一定可对角化。即它的每个特征集合基础解系中解向量的个数等于对应特征值的重数。Q：给定一个实对称方阵，求出一个正交矩阵，使得（2）对实对称方阵来说，它的属于不同特征值的特征向量正交。第六章二次型Q1：给定一个二次型，写出其对应的矩阵Q2：二次型的秩Q3：正交变换法化标准型Q4：写出规范型Q5：实对称方阵合同关系的判定（注意相抵、相似、合同的区别）Q6：正定矩阵定义及判定