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1、§5.3复数的乘法与除法一、复数的乘法与除法1.复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数,即:(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对任何z1,z2,z3有z1z2=z2z1;(z1z2)z3=z1(z2z3);z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.实数集R中正整数指数的运算律,在复数
2、集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.3:复数的一个重要性质两个共轭复数z,z的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,即zz=
3、z
4、2=
5、z
6、2.4:复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即5.共轭复数的乘除性质:6.一些常用的计算结果(1)如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把
7、它推广到n∈Z.(2)设,则有:事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.(3)7.例题选讲例1.计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(1+2i)(3-4i)解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(2)原式=例2:计算:(1)i+2i2+3i3+…+2004i2004;解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+…+(2001i-2002-2003i+2004)=501(2-2i)=1002
8、-1002i.(2)解:原式=(3)解:原式=练习:计算:答案:(1)255-i;(2)1.例3:已知复数,且z2+az+b=1+i,求实数a,b.解:所以(1-i)2+a(1-i)+b=1+i,即-2i+a-ai+b=1+i,从而有:(a+b)+(-a-2)i=1+i.练习2:已知z=1+i,(1)若,求;(2)若;求a,b的值.答案:(1);(2)a=-1,b=2.OABDxyOABCxy例4:如图所示,平行四边形OABC(O,A,B,C按逆时针方向)中,各顶点对应的复数依次是zO=0,zA=a
9、+ai/2,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,(a,b为实数),求zC/zA的值.解:因为OABC是平行四边形,例5:已知复数z满足
10、z
11、=5且(3+4i)z是纯虚数,求z.解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i.由已知得代入a2+b2=
12、z
13、2=25,解得a2=16.当a=4时,b=3,z=4+3i,所以z=4-3i;当a=-4时,b=-3,z=-4-3i,所以z=-4+3i.解2:由已知可设(3+4i)z=ki(k∈R且k≠0).则例6:若是纯
14、虚数,求z的对应点Z的轨迹.解:设,则z-1=ki(z+1).设z=x+yi(x,y∈R),则消去k,得x2+y2=1且y≠0.所以z的对应点Z的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,除去圆与x轴的交点(1,0)和(-1,0)二、重要性质的应用公式zz=
15、z
16、2=
17、z
18、2在整个复数知识中占有十分重要的地位,它既是共轭复数与复数模的桥梁,又在处理复数为实数或纯虚数时的重要工具.公式的变形:;特别地,当
19、z
20、=1时,.复数z为实数的几个充要条件:(1)Im(z)=0;(2)z=z;(3)z2≥0;(4)存在
21、非零实数k,使得
22、z-ki
23、=
24、z+ki
25、.复数z为纯虚数的几个充要条件:(1)Re(z)=0且Im(z)≠0;(2)z+z=0且z≠0;(3)z2<0;(4)存在非零实数k,使得
26、z-k
27、=
28、z+k
29、且z≠0.在上述的条件中,特别要注意对第(2)个结论的灵活运用,事实上这是一个最常用的结论.例1:已知
30、z
31、=1,求
32、z2+z+1
33、的最值.解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,
34、x
35、≤1,
36、y
37、≤1.故
38、z2+z+1
39、=
40、x2+2xyi-y2+x+yi+1
41、=
42、(x2-y2+x+1)
43、+(2xy+y)i
44、=
45、(2x2+x)+(2x+1)yi
46、=
47、2x+1
48、
49、x+yi
50、=
51、2x+1
52、.所以,当x=1时,
53、z2+z+1
54、最大值=3;当x=-1/2时,
55、z2+z+1
56、最小值=0.解2:由于zz=
57、z
58、2=1,故若设z=x+yi(x,y∈R),则有
59、z2+z+1
60、=
61、z2+z+zz
62、=
63、z
64、
65、z+1+z
66、=
67、2x+1
68、(以下同解1).例2:设非零复数z1,z2满足
69、z1+z2
70、=
71、z1-z2
72、,求证:(z1/z2)2<0解2:解1:解3:设z1=a+bi,
