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1、1.3.1单调性与最大（小）值第一课时函数单调性的概念授课人肖冲中国在近七届奥运会上获得的金牌数届枚情景引入(一)情景引入(二)德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100函数的单调性思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化
2、趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo204060801001231xyox0y1124-1-2-11考察下列两个函数:思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征吗？1知识探究(实例分析归纳概念)xyo-1xOy1124-1-211思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3:如果一个函数的图象从左至右逐渐下降，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小xyo-
3、1xOy1124-1-21函数在R上是增函数函数在(-∞,0]上是减函数(0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大函数在(0,+∞)上是增函数1当x增大时f(x)随着增大-4-3-2-10123451694101491625函数f(x)=x2:则f(x1)=,f(x2)=x12x22∴函数f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数.任意,都有任意,都有x0x1x2yf(x1)f(x2)在(0,+∞)上任取x1、x2,思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D上是增函数”？如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)
4、＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.某个区间D某个区间D任意任意xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)x1、x2的三大特征：①属于同一区间②任意性③有大小:通常规定x1＜x2思考5:函数的单调区间与定义域有怎样的关系呢?所有函数都具有单调性吗?请举例说明.在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数减减问:能否说在(-∞,
5、0)∪(0,+∞)上是减函数?反比例函数：-2yOx-11-112在(-∞,0)上是____函数在(0,+∞)上是____函数减减函数：yOx在(0,+∞)上任取x1、x2当x1yOx-11-11取自变量－1<1，而f(－1)f(1)因为x1、x2不具有任意性.∴不能说在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数<如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.定义一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x
6、1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)16解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1)，[1，3),[3，5].逗号隔开例1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数？其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是
7、增函数；说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.-432154312-1-2-1-5-3-2xyO2知识应用与解题探究证明函数 在R上是减函数.即∵∴∴判断差符号例2.利用定义：证明：设是R上任意两个值，且，∴函数在R上是减函数．设值作差变形下结论则骤11144.下结论:由定义得出函数的单调性.1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1<
