数学中的折纸问题.doc

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1、数学中的折纸问题1折出黄金分割比众所周知的分线段为黄金分割比：。这是个美妙的比例，实质上是“将线段为不相等的两段，使长段为全线段和短线段的比例中项”。黄金分割比的作图并不难，但步骤较为复杂［2］。如果用折纸的办法，我们就可以轻轻松松地将它展示出来。如图1所示，将AD折叠到AB上，D为正方形纸片EF的中点，则。也即C为边BF的黄金分割点［3］。简证如下：令∠DAG＝，由折纸的对称性知∠BAC＝，又，从而求得：，即。2折出30°和60°角对于我们当中经常折纸的人,折出90°和45°角几乎是一种本能,而折出30°和60°角，其中包含的数学内容就稍微难理解些。折出30°和60°角的方法主要是基于直角

2、三角形的一个性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半［4］。图2所展示的是在长方形纸片的一条边中点折出60°角的方法。将左上角顶点折叠到右边长一条折痕上，可以在纸片上边的中点产生三个相等的60°角。如果我们再将右上角也折叠过来，使两个角的顶点重合，那么，此时右边的60°角就分成了两个30°角。如图3，当然，我们也可以直接将右上角顶点折叠到右边第一条折痕上形成30°角。其实，我们还可以像图4这样以正方形绝版的角或中心为顶点，折出60°或30°角。注：将图3（2）一般化可以揭示一条重要性质：邻补角的平分线互相垂直，这就是2003年黑龙江省一道中考题［5］。上面几种折法的几何证明就留给读者吧！3将

3、长方形纸片的成三等份大多数人（包括笔者本人）将长方形纸片折成三等份的惯用方法是：先从纸片的一边开始，估计地叠起纸片的；然后，将对边也折起来，根据三份是否重合来进行调整。当然，这种折法里头蕴涵了朴素的极限思想；反复折叠中，一次比一次地趋近三等份。另外一种完全不同的折法是：如图5，先将整张纸片沿对角线折叠；最后，过两条对角线的交点X折叠纸片，使CG重叠在AG上，则GC为AC的。充分利用相似三角形的性质是这种折法的核心，我们可以很容易证明它，此处不再赘述。诚如文［1］所说：“观察、比较和分析折纸中的数学现象，有利于提高学生的感性认识和空间想像力”。的确，一张小小的纸片有时也能产生很大的教学价值，这

4、不能不让人称奇。本文所列举的只是其中的“冰山一角”。让我们大家一起来充分发掘它，好好地利用它，让它大放异彩吧！