2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课后课时精练新人教A版.docx

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1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式A级：基础巩固练一、选择题1．若sin＝，则cos的值为(　　)A．－B．－C．D．答案　B解析　cos＝－cos＝－cos＝－＝2sin2－1＝－.2．若＝，则tan2α＝(　　)A．－B．C．－D．答案　B解析　∵＝，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝－3cosα，即＝－3＝tanα，∴tan2α＝＝.故选B．3.·＝(　　)A．tan2αB．tanαC．1D．答案　A解析　原式＝·＝tan2α.4．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．等腰三

2、角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案　B解析　由sinBsinC＝cos2得sinBsinC＝，∴2sinBsinC＝1＋cosA，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，又∵－180°

3、cosA＝，∴1＋2sinAcosA＝，即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝.∴

4、sinA＋cosA

5、＝.∵sin2A＝2sinAcosA＝>0，且A为△ABC的内角，∴A为锐角，∴sinA＋cosA＝，故选A．解法二：∵A为锐角，∴sinA＋cosA>0.∴B，D不符合题意．若sinA＋cosA＝，则(sinA＋cosA)2＝＝1＋2sinAcosA＝1＋sin2A．∴sin2A＝，满足题意，故选A．二、填空题6．已知α为第二象限的角，sinα＝，则tan2α＝________.答案　－解析　由sinα＝，且α为第二象限的角得cosα＝－，得t

6、anα＝－，tan2α＝－.7．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案　解析　设A是等腰三角形ABC的顶角，则cosB＝，sinB＝＝＝.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2××＝.8．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝，则β＝________.答案　解析　由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝.解法

7、一：由tan(β－α)＝＝＝，得tanβ＝1.∵β为锐角，∴β＝.解法二：tanβ＝tan(β－α＋α)＝＝＝1.∵β为锐角，∴β＝.三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，点P在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解　(1)因为·＝－，所以sin2θ－cos2θ＝－，即(1－cos2θ)－cos2θ＝－，所以cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝.(2)因为cos2θ＝，所以sin2θ＝.所以点P，点Q.又点P在角α的终边上，所以sinα＝，cosα＝.同理，si

8、nβ＝－，cosβ＝，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝－.10．已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其图象过点.(1)求φ的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在上的最大值和最小值．解　(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)．所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ)

9、＝cos(2x－φ)．又函数图象过点，所以＝cos，即cos＝1.又0<φ<π，所以φ＝.(2)由(1)知f(x)＝cos，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知g(x)＝f(2x)＝cos，因为x∈，所以4x∈[0，π]．因此4x－∈.故－≤cos≤1.所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分别为和－.B级：能力提升练1．4cos50°－tan40°＝(　　)A．B．C．D．2－1答案　C解析　4cos50°－tan40°＝4cos50°－＝＝＝＝＝＝＝.故选C．2．设向量a＝(4cosα，sinα

10、)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．