《高等代数习题》word版.doc

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1、高等代数习题第一章基本概念§1.1集合1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？{a}A是否正确？3、设写出和.4、写出含有四个元素的集合{}的一切子集．5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正．(i)(ii)(iii)(iv)7．证明下列等式：(i)(ii)(iii)§1.2　映射1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．3、是不是全体实数集到自身的映

2、射？4．设f定义如下：f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？6、设a,b是任意两个实数且a

3、合A的代数运算: 集合A规则1234全体整数全体整数全体有理数全体实数§1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明,是任意自然数.3、证明二项式定理:这里，是个元素中取个的组合数.4、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。§1.4　整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;　　;;　　.2、设是整数且不全为0,而,,.证明,的一个最大公因数必要且只要.3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且,则.证明:任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而,则.4、设是一个大

4、于1的整数且具有以下性质:对于任意整数,如果,则或.证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而.证明;利用证明,素数有无限多个．§1.5数环和数域1．证明,如果一个数环那么含有无限多个数．2．证明,是数域．3．证明,是一个数环,是不是数域?4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5．设是一整数,令由例1,是一个数环.设,记．证明:是一个数环．．,这里是与的最大公因数．．第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算1．设和是实数域上的多项式．证明：若是(6)，那么2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3．证

5、明：§2.2多项式的整除性1．求被除所得的商式和余式：(i)(ii)2．证明：必要且只要3．令都是数域F上的多项式，其中且证明：4．实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5．设F是一个数域，证明：整除6．考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数．证明：7．证明：整除必要且只要整除§2.3多项式的最大公因式1.     计算以下各组多项式的最大公因式：(i)(ii)2.     设证明：若且和不全为零，则反之，若则是与的一个最大公因式．3.     令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4．证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。5．设都是有理数域Q上的多项式。求使得6．

6、设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7．设证明：  8．证明：对于任意正整数都有9．证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。10．决定，使与的最大公因式是一次的。11．证明：如果那么对于任意正整数，12．设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式：且；如果∈F[x]且，那么证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明13

7、．设并且证明：14．设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15．设令比照定理1.4.2，证明：有最大公因式．[提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式．]§2.4多项式的分解1.     在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2.     分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.3.     证明：当且仅当4.     求在内的典型分解式；求在内的典型分解式5.证明：数