《高等代数习题》word版.doc

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1、高等代数习题第一章基本概念§1.1集合1、设Z是一切整数的集合,X是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集?2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么?{a}A是否正确?3、设写出和.4、写出含有四个元素的集合{}的一切子集.5、设A是含有n个元素的集合.A中含有k个元素的子集共有多少个?6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例,并且进行改正.(i)(ii)(iii)(iv)7.证明下列等式:(i)(ii)(iii)§1.2 映射1、设A是前100个正整数所成的集合.找一个A到自身的映射,但不是满射.2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映

2、射?4.设f定义如下:f是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射?6、设a,b是任意两个实数且a

3、合A的代数运算: 集合A规则1234全体整数全体整数全体有理数全体实数§1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明,是任意自然数.3、证明二项式定理:这里,是个元素中取个的组合数.4、证明第二数学归纳法原理.5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。§1.4 整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;  ;;  .2、设是整数且不全为0,而,,.证明,的一个最大公因数必要且只要.3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且,则.证明:任意两个不等于零的整数都有唯一的最小公倍数;令是与的最小公倍数而,则.4、设是一个大

4、于1的整数且具有以下性质:对于任意整数,如果,则或.证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题).5、设是两两不相同的素数,而.证明;利用证明,素数有无限多个.§1.5数环和数域1.证明,如果一个数环那么含有无限多个数.2.证明,是数域.3.证明,是一个数环,是不是数域?4.证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?5.设是一整数,令由例1,是一个数环.设,记.证明:是一个数环..,这里是与的最大公因数..第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算1.设和是实数域上的多项式.证明:若是(6),那么2.求一组满足(6)式的不全为零的复系数多项式和3.证

5、明:§2.2多项式的整除性1.求被除所得的商式和余式:(i)(ii)2.证明:必要且只要3.令都是数域F上的多项式,其中且证明:4.实数满足什么条件时,多项式能够整除多项式5.设F是一个数域,证明:整除6.考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数.证明:7.证明:整除必要且只要整除§2.3多项式的最大公因式1.     计算以下各组多项式的最大公因式:(i)(ii)2.     设证明:若且和不全为零,则反之,若则是与的一个最大公因式.3.     令与是的多项式,而是中的数,并且证明:4.证明:(i)是和的最大公因式;(ii)此处等都是的多项式。5.设都是有理数域Q上的多项式。求使得6.

6、设令是任意正整数,证明:由此进一步证明,对于任意正整数,都有7.设证明:  8.证明:对于任意正整数都有9.证明:若是与互素,并且与的次数都大于0,那么定理里的与可以如此选取,使得的次数低于的次数,的次数低于的次数,并且这样的与是唯一的。10.决定,使与的最大公因式是一次的。11.证明:如果那么对于任意正整数,12.设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是F[x]中满足以下条件的一个多项式:且;如果∈F[x]且,那么证明:F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式,并且除了可能的零次因式的差别外,是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式,令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明13

7、.设并且证明:14.设证明:互素的充要条件是存在多项式使得15.设令比照定理1.4.2,证明:有最大公因式.[提示:如果不全为零,取是I中次数最低的一个多项式,则就是的一个最大公因式.]§2.4多项式的分解1.     在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积:2.     分别在复数域,实数域,有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.3.     证明:当且仅当4.     求在内的典型分解式;求在内的典型分解式5.证明:数

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