圆锥曲线知识点总结.doc

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1、圆锥曲线知识点总结解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值.一、基础知识概述(圆锥曲线定义与性质)椭圆定义：数学语言：椭圆（以（）为例）的几何性质：①范围②焦点③对称性④离心率双曲线定义：数学语言：双曲线（以（）的几何性质①范围②焦

2、点③对称性④离心率⑤两条渐近线抛物线定义：抛物线（以为例）的几何性质：①范围②焦点③对称性④准线⑤离心率二、圆锥曲线常见知识点1、圆锥曲线的标准方程2、直线与圆锥曲线的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重点内容之一．可从代数与几何两个角度考虑．（1）从代数角度看，可通过将表示直线的方程，代入圆锥曲线的方程消元后所得的情况来判断，但要注意的是，对于椭圆方程来讲，所得一元方程必是一元二次方程，而对双曲线方程来讲未必．例如：把代入中，消去后整理得：①．当时，该方程为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行；当时，方程①为二次方程，

3、这时可以用判别式来判断直线与双曲线的位置关系．（2）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及两个相异的公共点．具体如下：①直线与圆锥曲线的相离关系，常通过求二次曲线上的点到已知直线的距离的最大值或最小值来解决；②直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或与双曲线的渐近线平行，对于抛物线，表示直线与其相切或直线与其对称轴平行；③直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相割，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．3、有关弦长问题解析几何的题目大部分都以方程形式给定直

4、线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，能简化解题过程减少运算量．有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

5、P1P2

6、＝

7、x2－x1

8、或

9、P1P2

10、＝

11、y2－y1

12、，其中求

13、x2－x1

14、与

15、y2－y1

16、时通常使用韦达定理，即作如下变形：

17、x2－x1

18、＝；

19、y2－y1

20、＝.(2)弦的中点问题:有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法

21、”来简化运算．4、(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有①

22、OP

23、∈[b，a]；②

24、PF1

25、∈[a－c，a＋c]；③

26、PF1

27、·

28、PF2

29、∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①

30、OP

31、≥a；②

32、PF1

33、≥c－a.(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有①

34、PF

35、≥；②A(m，n)为一

36、定点，则

37、PA

38、＋

39、PF

40、有最小值．（4）该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．　　①定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．②解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系

41、，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.