函数概念的形成与发展.docx

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1、“函数概念”的生命线一年三班吴桢早期的数学不是研究事物的运动变化的，运动变化是物理学研究的对象。到了16世纪，由于实践的需要，各种变化和变化的量之间的关系成为数学家注意的对象，函数思想便随着数学开始研究事物的运动变化而出现。伽利略是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作中多处使用比例的语言表达量与量之间的关系，例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用的时间的平方成正比等等，这正是函数概念所表达的思想意义。16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，注意到量的变化及之间的依赖关系，在数学中引进了

2、变量思想成为数学发展的里程碑，也为函数的产生准备了思想基础。把“函数”一词最早作为数学术语的是莱布尼兹，他用“函数”一词表示任一随着曲线上的点变动的量，如横坐标，纵坐标，弦长，切线长等等，这个定义仅是在几何范围内揭示某些量之间所存在的依存关系，并给出函数的解析定义。18世纪微积分蓬勃发展，欧拉在他的《无穷小分析引论》中进一步推广了函数的定义：一个变量的函数是由变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。1750年左右，欧拉在研究波动理论问题时发现原有的函数定义的狭隘性，于是他又给出了一个更为广泛

3、的函数定义：如果某些量以这样的方式依赖于另一些量，即当后面这些量变化时，前面这些量也随之变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。1823年柯西在函数的定义中引入了自变量，将函数作如下定义：“当变量之间这样联系起来的时候即给定了这些量中的一个值，就可以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这个自变量表示的其它量就叫做这个自变量的函数。”在这个定义中，柯西对函数的进行表达式做了较少地限制，而着重从变量之间地对应关系着手叙述了函数的概念，尽管如此

4、，柯西仍然希望用“自变量”来表示其它的量。其后的狄里克莱函数无疑对柯西的函数定义提出了挑战，这个函数不能用公式表达，也不能用曲线画出。所以1837年狄里克莱又重新定义了函数：如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应，那么y就是x的一个函数，至于整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖x是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的。19世纪集合论诞生，受其影响数学家开始将其注意力由函数的解析式转向自变量的取值范围。到20世纪初，集合论的思想和方法就开始渗透到数学的各个领域，由于数学

5、严密性的需要，数学家们也尝试着用集合论的方法给函数下定义，也就是目前我们学习的高中函数定义。许多数学概念是在数学的整体演变与发展过程中，逐渐被认可、被完善的，都有一个从模糊、不严密到严谨的发展历程。函数的概念也是一样，函数定义历经数百年来的演变发展，形成了函数的现代定义，应该说已经相当完善和严密了，不过科学和数学的发展是无止境的，函数的概念也会随之继续扩展。通过本节课的学习，我对函数概念有了更深刻的理解，对高中函数概念的认识也更清晰了，函数不一定有解析式，也不一定有图像，但它可以看成两个集合之间的一种

6、对应关系，而对应关系的形式并不唯一，可以是解析式，可以是图像，也可以是表格，甚至可以是语言描述。函数发展史一年三班陆然任何一项科学理论发展的历程都是漫长而曲折的。函数作为数学和计算机科学等学科中重要的一个知识，已经运用于生产生活的各个领域，对人类科学技术的发展有着重要的意义。十七世纪时，人们对函数还没有具体的定义。伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但当时

7、尚未意识到要提炼函数概念。1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。到了十八世纪，函数有了较为具体的概念。1718年约翰·伯努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成

8、的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1748年，欧拉在其《无穷分析引论》一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰·伯努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·伯努利的定义更普遍、更具有广泛意义。1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，