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1、《数学教师》月刊王年月函数概念的产生与发展徐品方初等或高等数学中,函数#“他定义变量的函数是由这,些概念是一个至关重要的概念变量与常量所组成的一个解中”,学数学可以说是以函数为中析表达式并把函数符号记作!,!心的一门科学函数概念是怎二或者占∃%年他又用∀二表示二的函,“”样起源和发展呢本文作一简劝数变量一介。词也是这时引进的!这个定义、,一产生较前有进步但仍是用解析式从常量数学进入变量数学来,!定义是不确切的!!,&∋∃∃续%,约翰的学生=>?7时期防之产生了函数概念年出版年欧拉(的笛卞尔《几何学》中,第一次涉及到变≅−1,∃
2、4∃一∃%∋)给出了他—的第一个函数定量,“”)!#“(未用此名是用未知和未定的量义一个变量的函数是由该变量和一些数,,”同时也引入函数的思想他指出夕和∗是变或常量以任何一种方式构成的解析表达式,‘!,量的时候也注意到夕依赖于二变而变的思这也是解析式表示法关于函数符号欧拉早!!−./01−.,,想马克思说法国的笛卡尔(+,2在年前(∃∋年)便引入了函数记号Α(劝,!3&一&34)发明的解析几何是函数概念一直沿用至今从,萌芽到产生并且开始新的发展和重要意用函数的解析式定义函数也有很大的局!,函数概念产生于∃限性,比如某些变量之间
3、的对应关系不能用义的标志或里程碑显然,世纪。解析式表达那么根据这种定义就不能称为二、解析的函数定义函数关系!,由于科技发展的需要,正(第一次扩张函数这时概念)确规定函数概念的紧迫感引起了数学家的注!,&&∃,英国数学家格列哥里(561−7意用函数的解析式定义函数概念既然不正年,、8/19,&∋%&∃,那么怎样定义呢一3)第一次扩张了函数概念确∀数学家们在思考寻“它。认为是从其它的一些量经过一系列代数觅,、运算而得到的或者经过其它可以想象的运三图象表示的函数概念(第二次扩张)”》)!算而得到的(《论圆和双曲线的求积一般公认最早给出函数
4、定义的是德国数!!,(6=−ΧΔ<ΧΕ&连&∃&),这里的运算指五种代数运算以及求极限运学家莱布尼兹Β一算!这一定义被认为是解析的函数定义之他在&∃∋年的一篇手稿里指出#象曲线上的、、始!但因该定义有很大的局限性,很快被人点变动而变动的几何量,如点的横纵坐标!切线的长、。遗忘了度法线的长度等都称为函数并!&%,·贝这种年莱布尼兹的学生约翰努利且他强调这条曲线是一方程式给出的!(:/0<<,&&∃∃%),“5;一在研究中要反应用函数表示几何量被后人称为函数概念,的几”。,刻画运动过程和各种变化量间的相依关系何起源其实是函数图象表示
5、法定一《数学教师》月刊年月义!“#。一,,之始莱氏在这里第一次把函数Α二一些变量即当后面这些变量变化时前面,2沁<”一词作为专门的数学术语!,这些变量也随之而变化则将前而的变量称但是他“”#,ΦΓ,!!”。“有时又用函数一词表示幂二扩等为后面变鱿的函数这个定义可Ν用依”可见莱氏的函数含义也是模糊的!于是,怎赖变化定义,朴素地反映了函数中辩证因,,“”“”。样规定函数概念数学家们开始了一场争素体现了自变到因变的过程Ο皿鸣!如此被认为是科学函数概念的雏形。!’,,法国数学家达朗贝尔(+,ΗΙ−ϑΔ−12这里附带指出欧拉前后给出了三
6、个不,,∃∃一∃%∋)和欧拉在研究弦振动问题时同的定义(都有局限性)说明函数正处在各自提出了不同的团数概念。两人发生了争不断的发展之中!今天来看,欧拉的第一、。约,,论翰的学生达朗贝尔支持他的老师的定三个定义易理解但过窄因有许多函数是,#“没Π义并解释说任意函数定义是指任意的有解析表达式(不规则曲线)也有的函解析式”!欧,二的变化而变化(如当今平拉不同意他们的说法他又给数并不随自变量#“,出他的第二个定义在卿平面上徒手画信邮资9是信件重量的函数但是不超过Γ。”,!出来的曲线所表示的夕与二间的关系把克仍为,一Γ4分)第二个定义虽然属函
7、数函数定义“”!,,为任意而出的一条曲线两人争的图象法但颇接近现代函数定义的思想,!,!,论很久谁也没有说服谁后来约翰的儿但嫌不够明确仅管如此欧拉的三种定义!,!子丹尼尔(:,0,Χ−Ι∃44一∃%Γ)也参加对后世影响是很大的,#,争论他提出一个企图调解折衷的意见正以后至世纪初出现的函数定义毯本,仍没!象复杂的振动是由简单的正弦曲线振动合成上为上面几种有重大的突破如!!,∃∃年,拉格朗=Ι0810#8。,∃∋&一样欧拉所说的任意曲线可以写成级数形日(5#%Π式一∋)用幂级数表示的关系来定义函数“戈,!Γ%4∃年傅里叶用任何函数都
8、可以表成三角丫’‘’“。娜少一。‘.排丁十。Γ3‘<一了”、万级数如上()(Γ)式五、现行初中函数定义的来源(第四次<义。”Κ‘<−,(Ι)十了扩张),,!Λ/?1−1,∃&%%∋4)随着生产的发展科技的进步世纪后来傅里叶(5Χ一确
