一元二次方程根与系数的关系.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.ppt

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1、*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系五蛟初中连喜问题1请写出一元二次方程的一般形式和求根公式.ax2+bx+c=0一、复习导入问题2完成下面的表格.方程x1x2x1+x2x1x2x²-2x-3=0x²-5x+6=0x²+2x+1=02x²+x-3=0-132-32365-11-2-11观察表格中的结果，你有什么发现？运用你发现的规律填空：8-3-7-5（1）已知方程x²-8x-3=0的根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=；（2）已知方程x²+7x-5=0的两根为x1，x2，则x1+x

2、2=，x1x2=.二、探索新知思考1（1）如果方程x²+mx+n=0的两根为x1，x2，你能说说x1+x2和x1.x2的值吗？（2）如果方程ax²+bx+c=0的两根为x1，x2，你知道x1+x2和x1x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.归纳总结根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程ax²+bx+c（a≠0）有两实数根x1，x2，则.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b²

3、-4ac≥0呢？为什么？用根与系数关系解题的前提条件是Δ≥0，否则方程就没有实数根，自然不存在x1，x2.思考2三、掌握新知例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积.（1）x²-6x-15=0解：x1+x2=-(-6)=6x1x2=-15（2）3x²+7x-9=0解：x1+x2=x1x2=（3）5x-1=4x²解：方程化为4x²-5x+1=0x1+x2=x1x2=例2已知方程x²-x+c=0的一根为3，求方程的另一个根及c的值.解：设方程另一根为x1.则x1+3=

4、1，∴x1=-2.又x1.3=-2×3=c，∴c=-6.例3已知方程x²-5x-7=0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值：（1）x1²+x2²；（2）.解：∵方程x²-5x-7=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=5，x1x2=-7.（1）x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=5²-2×(-7)=39；（2）例4已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且x1².x2²-x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求x1²+x2²-8的值.解:（1）∵由题意有x1+x2=6，

5、x1.x2=k.∴x1²x2²-x1-x2=(x1x2)²-(x1+x2)=k²-6=115，∴k=11或k=-11.又方程x²-6x+k=0有实数解，∴Δ=(-6)²-4k≥0,∴k≤9.∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11，∴x1²+x2²-8=(x1+x2)-2x1x2-8=36+22-8=50.1.若x1，x2是方程x²+x-1=0的两个实数根，x1+x2=x1+x2=.2.已知x=1是方程x²+mx-3=0的一个根，则另一个根为

6、，m=.3.若方程x²+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a=，b=.-12-3四、巩固练习-11-64.已知a，b是方程x²-3x-1=0的两个根，求的值.解：由a+b=3，ab=-1，故.通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？哪些地方需特别注意的？谈谈你的看法.五、归纳小结