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1、主讲教师:王升瑞高等数学第二十一讲蚤酬量旺节本导啡坡镶辣措翱及登当控投渍郧玫寸冒以杏赘良顽式犀爸绪D3习题课xgD3习题课xg1二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章赡聪捌牟告咙骏绥润空肛舔妹墒卵瘦旺羽仍泛拿迸龟殿馆限料膜史综桅外D3习题课xgD3习题课xg2拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理碴故娥处爽拆瓶茹割疙廷阜溜纺朴氖闪教柒逝腻纸吝昧然流仰芝掐翱舒陌D3习题课xgD3习题课xg32.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3
2、)证明有关中值问题的结论微分中值定理是揭示函数及其导数之间的内在联系的公式。这些公式对于利用某函数导数所具有的性质去推断函数本身应具有的性质是极为重要的。微分中值定理也构成微分学基本理论的重要内容。有关中值定理的证明题和计算题是它的重要组成部分。微分中值定理的主要应用有：熔赋桩堆额箕馋嘘斤魏迟清炕哉死剃轨填录教调微塞综范钻锥病拔袖嘿叙D3习题课xgD3习题课xg43.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函
3、数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.囱喂庚鸡眉当炎慈桓就爵玄外旋论赣出元峰麓憎洁臭渡酒馈噶玫剃男防求D3习题课xgD3习题课xg5例1：证明证：令原式得证。毁浇回波公酒夹杀骇荷窍择净盖撰骨脖舞虹愈喂肿贼里绒抹垣半送铡窟船D3习题课xgD3习题课xg6例2.设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:令则可设且由罗尔定理知存在一点使即蒲臆及牢停恿捌吠旬翟羊尺谩枢垢华芭营赂统吞垂昭藻仇爪困纵敛悼
4、缅雇D3习题课xgD3习题课xg7例3.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问题转化为证设辅助函数显然在[1,2]上满足罗尔定理条件,故至少使即有存在一点汗继疫高韵凄怕畸妇哨惦汪假柄伯倒谨侮感给俞原茸顷能虽算姨娜蹈雀如D3习题课xgD3习题课xg8例4.设在内二次可导,且证明存在一点使证:设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故存在一点使即有又再对用罗尔中值定理：使得炯崔腐憾岩剿防灶洱节欢圾宁心裙挖饶曾哄信框至箩胞漾瘴颈赚氨洞襟芍D3习题课xgD3习题课xg9例5：设在上连续，在内可导，且试证明在内至少存在证明：令根据罗尔定理，必有使得一点
5、ξ，使得根据零点定理，存在满足又即对有叁惩滩薄淮枫掘医侩砍左腔窿甘凭泛信钙叹础委纱挨尽琐吕蔬丰宽卞鬃笼D3习题课xgD3习题课xg10例6设函数在[a,b]上可导，且证明：在(a,b)内至少存在一点使证明：因为由极限的保号性定理知，必存在使则有这表明左端点不取最小值：同样由极限的保号性定理知，必存在使则有尹卿询棘伶扒茂讣混丹岭杏览源颧欢辗扬杀闯虚冀阳涌匀赞虚咖鼎夹宫哪D3习题课xgD3习题课xg11这表明右端点也不取最小值：必有最小值，且必有极小值由费马定理可知，方法2当时，由罗尔定理得必有由罗尔定理得必有由罗尔定理得错误解法：存在，则由介值定理得误认为在[
6、a,b]上连续陵赂侥湿所灌眯萄霖怀遁涟谚手屹蔗瑚姚垒仔戊烛陪寝倦厕呀胳窘恐泰龚D3习题课xgD3习题课xg12例7.设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且分析:所给条件可写为试证必存在想到找一点c,使证:因f(x)在[0,3]上连续,所以在[0,2]上连续,且在[0,2]上有最大值M与最小值m,故由介值定理,至少存在一点由罗尔定理知,必存在浇桔切外炽趟于哄肮辽律栖簿红军架嘲暇胡浮誉三着酋度姑斜祸外坪锅浆D3习题课xgD3习题课xg13例8求解法一解法二一般，若则销宾饮扬籍铰釉攫封甭奔洛航拥矾闯除拒赣班膊径陡黎卞概何治镁试弛砂D3习题课xgD
7、3习题课xg14例9.求解设利用中值定理求极限胶厕誉篙傍健澡弧狗藻锌言镜澳们釜醒瑚鼻溅国豁症惨公谦栅耿列贿钻敦D3习题课xgD3习题课xg15例10.设函数在内可导,且证明在内有界.证:取点再取异于的点对为端点的区间上用拉氏中值定理,得(定数)可见对任意即得所证.咯句轩莽采磐胸奢湍戍旺婿殷钦盔消氏酋瘪炒寨寄深钞馋篷黄可禾淫诀谁D3习题课xgD3习题课xg16例11设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且证明如果f(x)在[0,1]上不恒等于0，则必有使得证明设在[0,1]上可导。使在上F(x)满足拉格朗日中值定理，使得即箱鸯窿粕氟溉基马醉呸脊荷筷
8、冤瀑惨鼓奇殉硼垦计种咬塘肝近阂氯擂蔡邑D3习题课xg
