1-4复变函数的极限和连续.ppt

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1、§1-4复变函数的极限和连续一、复变函数的极限二、复变函数的连续性1定义：设函数在复平面上已给点集E上确定，A为E的一个聚点，为一复常数，如果对任意,存在，使当且时，有则称当z在E中趋于时,趋于极限A，记作2z→z0的路径无穷，不能都列举3复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即且4定义：设函数在复平面上已给点集E上确定，为E的一个聚点，且，如果对任意，存在，使当且时，有则称函数在点连续，若在E中每一点都连续，则称在E连续.5定理：复变函数f(z)在点z0=x0+y0连续的充要条件是实部和虚部的两个二元函数在点(x0,y0

2、)都连续。6与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理定理1若函数与函数均在点连续，则和在点连续．进一步，如果，那么在点连续。7定理2函数在简单曲线或者有界闭区域上连续，则⑴在它上为有界函数；⑵在它上能取到最大值与最小值；⑶在它上一致连续，即对任意的,存在，使当或者且时，有8定义：如果对于任给定常数，存在，使当，时，有则称当z在E中趋于时趋于无穷大，记作9定义：如果对于任给定常数ε>0，存在，使当且时，有则称当z在E中趋于无穷大时趋于，记作10函数在某点处连续性的判别基本解法：(1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv

3、(x,y)(2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是否连续若都连续，则f(z)在z0连续若不连续，则f(z0)无意义，即u(x0,y0),v(x0,y0)至少一个不存在不存在或存在但只需验证在某方向上或存在某方向时，有或11证明argz在原点和负实轴不连续由于是分段定义的二元函数当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数argz是否连续即可。(1)由于当x0>0时有即当且时，函数的极限值等于在点(x0,0)处的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在正实轴连续。12(2)ar

4、gz在z=0点无意义，因此不连续所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续(3)在y＝0，x<0的半直线上可是综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处连续。f(z)=

5、z

6、的连续性？是复变实值函数，是x,y的二元连续函数，因此在整个复平面上连续。P26,4证明函数f(z)=ln

7、z

8、+iarg(z)在原点和负实轴上不连续性。13函数极限的求法和极限不存在的判别法方法1：当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一点处连续的定义来求极限。即方法2：当不能判断f(z)在z0点是否连续时，首先，把f(z)写成f(z

9、)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和v(x,y)的极限，即例因为

10、z

11、在整个复平面上连续P27,614