第5章+留数.ppt

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1、第五章留数5.1孤立奇点如果函数虽在不解析，但在的某一去心邻域内处处解析，那末称为的孤立奇点。例：函数都以为孤立奇点。如果在的任意小的邻域内总有的其它奇点存在，则不是的孤立奇点。例：考察函数。是它的一个奇点，除此之外，或也都是它的奇点，当的绝对值逐渐增大时，可任意接近，也就是说，在的不论怎样小的去心邻域内总有的奇点存在，所以不是的孤立奇点。孤立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。4.1.1可去奇点如果在的洛朗级数中不含的负幂项，则称孤立奇点是的可去奇点。例：以为孤立奇点，其洛朗展开式为式中不含的负幂项，是可去奇点，且，若在点无定义或不等于1，则只要重新定义处的函

2、数值，使其等于1，奇点就可去，就在解析了。5.1.2极点如果在的洛朗级数中只有的有限个负幂项，则称孤立奇点是极点。若负幂的最高项为，则称为级极点。此时函数可表示为(5.1.1)其中，在内是解析的函数，且，反过来，当任何一个函数能表示成上式的形式，且时，那末是的m级奇点。如果为的极点，由(5.1.1)式，就有或写作例：对有理分式函数来说，是它的一个三级极点，都是它的一级极点。5.1.3本性奇点如果在的洛朗级数中含有的无穷多个负幂项，则称孤立奇点为的本性奇点例：函数以为它的本性奇点，因为在级数中含有无穷多个的负幂项。在本性奇点的邻域内，具有以下性质：（维尔斯特拉斯

3、定理）若是的本性奇点，则对于任一复数及任给的，任意的，在区域，必存在一点，使得。推论：在任意一个圆环域中，必存在序列，使。综上所述，如果为的可去奇点，那末存在且有限；如果为的极点，那末；如果为的本性奇点，那末不存在也不为。5.1.4函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数若能表示为其中在解析，且，m为一正整数，则称为的m级零点。若在解析，则为的m级零点的充要条件是一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。定理若是的m级极点，则是的m级零点，反之也成立。这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法。例1函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。解：函数的奇点显

4、然是使的点，这些奇点是，很明显它们是孤立奇点，由于所以都是的一级零点，也就是的一级极点。例2设函数和分别以为n级极点及m级极点（），则是下列函数的什么奇点？（1）；（2）；（3）例3下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；解：1）为奇点，0是一级极点，是二级极点。2）是奇点，是二级极点（分母是三级零点，分子是一级零点）。3）是奇点，1是二级极点，－1是一级极点。4）是奇点，是可去奇点。5）是本性奇点。6）是奇点，是二级极点，是一级极点。5.1.5函数在无穷远点的性态如果在无穷远点的去心邻域内解析，则称是的孤

5、立奇点。作变换规定把扩充平面上的无穷远点映射为扩充平面上的点），把扩充平面上的邻域映射成扩充平面上的去心邻域，且有，于是，可以把在去心邻域上对的研究化为在内对的研究。（1）如果是的可去奇点、m级极点或本性奇点，则是的可去奇点，m级极点或本性奇点。（2）若在内可以展开为洛朗级数，那么我们有如下结论：1）如果在洛朗级数中不含正幂项，则为可去奇点。2）如果在洛朗级数中含有限个正幂项，则为的极点。3）如果在洛朗级数中含无穷多个正幂项，则为的本性奇点。例：1）函数在圆环域内可以展开成它不含正幂项，所以是的可去奇点。2）函数含有正幂项，且为最高正幂项，所以为它的一级极点。

6、3）函数的展开式：含有无穷多的正幂项，所以是它的本性奇点。例4：函数在扩充平面内有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。解：函数除使分母为零的点外，在内解析，所有这些点中除去外都是的三级零点，从而都是的三级极点因以1与－1为一级零点，所以1与－1是的2级极点。对于，因为，所以是的可去奇点。令，则原函数可化为可知使分母为零，时，所以不是的孤立奇点，也就是不是的孤立奇点。5.2留数5.2.1留数的定义及留数定理1.定义若是解析函数的一个孤立奇点，在的去心邻域内解析，C为邻域内任一条简单闭曲线，则称为在处的留数，记作，即是在以为中心的圆环域内的洛朗级数中项的系数。2.

7、留数定理设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。5.2.2留数的计算规则如果是的可去奇点，那末；如果是本性奇点，则须把在展开成洛朗级数来求；如果是极点，则可根据以下规则来求：规则1：若是的一级极点，有规则2：若是的m级极点，有规则3：当，和都在解析，如果，则为的一级极点，且有例1计算下列积分，C为正向圆周：（1）；（2）；（3）解：（1）被积函数有两个一级极点都在圆周内，由规则1，可得因此我们也可用规则3来求留数：（2）被积函数有四个

8、一级极点，都在圆周内，由规则3可求得（