正弦定理教学设计.doc

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1、正弦定理海门中学周茜一、教学内容分析：本课“正弦定理”，作为单元的起始课，为后续内容作知识与方法的准备，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），解决简单的三角形度量问题。二、学生学习情况分析：由于本课内容和一些与测量、几何计算有关的实际问题相关，教学中若能注意课程与生活实际的联系，注重知识的发生过程，定能激起学生的学习兴趣。当然本课涉及代数推理，定理证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，学生学习方面有一定困难。三、教学目标：让学生从已有的知识经验出发,通过对特殊三角形边角间数量关系的探求，发现正弦定理；再由特殊到

2、一般，从定性到定量，探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，猜想，比较，推导正弦定理，由此培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力；培养学生联想与引申的能力，探索的精神与创新的意识，同时通过三角函数、向量与正弦定理等知识间的联系来帮助学生初步树立事物之间的普遍联系与辩证统一的唯物主义观点。四、教学重点与难点：本节课的重点是正弦定理的探索、证明及其基本应用；难点是正弦定理应用中“已知两边和其中一边的对角解三角形，判断解的个数”，以及逻辑思维能力的培养。435mCBA五、教学过程设计：（一）创设情境:问题1、在建设水口电站闽江桥时,需预先测量桥长AB,于是在江边选取一个测量点C

3、,测得CB=435m,∠CBA=,∠BCA=。由以上数据，能测算出桥长AB吗？这是一个什么数学问题?引出：解三角形——已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程。师：解三角形，需要用到许多三角形的知识，你对三角形中的边角知识知多少？生：······，“大角对大边，大边对大角”师：“a＞b＞c←→A＞B＞C”，这是定性地研究三角形中的边角关系，我们能否更深刻地、从定量的角度研究三角形中的边角关系？引出课题：“正弦定理（二）证明探究从定量的角度考察三角形中的边角关系，猜想可能存在哪些关系？考察等边三角形、特殊直角三角形的边角关系，提炼出asinA=bsinB=csinC。这一关系式在任一

4、三角形中是否成立呢？请学生以量角器、刻度尺、计算器为工具，对一般三角形的上述关系式进行验证，教师用几何画板演示。在此基础上，师生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。对此猜想，据以上直观考察，我们感情上是完全可以接受的，但数学需要理性思维。如何通过严格的数学推理，证明正弦定理呢？在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,，根据锐角的正弦函数的定义，有，，又,则，从而在直角三角形ABC中，。问题2：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示“a与、b与sinB”的关系呢？探

5、究1：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？如图1，过C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。如图2，过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。如图3，分别过B、C作AB、AC边上的垂线，交于D，连接AD，也得到两个直角三角形······经过师生讨论指出：方法2，简单明了，容易得到“c与、b与sinB”的关系式。探究2：能否引入向量，归结为向量运算？（1）图2中蕴涵哪些向量关系式？学生探究，师生、生生之间交流讨论，得（这三个式子本质上是相同的）,等,（2）如何将向量关系转化为数量关系？(施以什么运算?)生：施以数量积运算（3）可取与哪些向量的数量积运算？

6、探究3：能否引入向量的坐标形式，把向量关系转化为代数运算？（1）如图4，建立直角坐标系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量的坐标=？（bcosA-c，bsinA）（3）哪一点的坐标与向量的坐标相同？由三角函数的定义，该点的坐标又为多少？根据平行四边形法则，D（），从而建立等量关系：bcosA－c=bsinA=,整理，得c=bcosA+acosB（这其实是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？（留做课后作业）（四）理解定理、基本应用：问题4、定理结构上有什么特征，有哪些变形式？（

7、1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。2、例题分析例1．在中，已知，，cm，解三角形。评述：定理的直接应用，对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2．在中，已知，解三角形（角度精确到，