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1、17.1勾股定理(1)教学设计潼南区古溪镇初级中学校滕彩霞教学目标:1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法. 2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.教学重难点:【重点】 探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【难点】 用拼图的方法验证勾股定理.导入: 如图所示,一座城墙高11.7m,城墙外有一条宽为9m的护城河,那么一架长为15m的云梯能否达到城墙的顶端? 这就是我们今天所要学习的内容,一个非常重要的定理——“勾股定理”. 教学过程一、探索勾股定理 (1)探索等腰直角三角形三边之间的关系.(如教材第22页图)相传2500多年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家作客
2、时 ,发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系 师:这个地面图案中有大大小小、各种“姿势”的正方形.毕达哥拉斯在这些正方形中发现了什么呢?(出示教材图17.1-2) (1)问题提出:在图17.1-2中,是以等腰直角三角形三边为边长的三个正方形.这三个正方形面积之间存在怎样的关系?三个正方形之间的面积关系说明了什么? (2)学生活动:质疑、猜测、探索、交流三个正方形面积之间的关系. 学生的探索方法可能是:通过数正方形内等腰直角三角形个数的办法,得出两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积. (3)教师总结:通过直接数等腰直角三角形的个数,或者用割补的方法将小正方形中的等腰
3、直角三角形补成一个大正方形,得出结论:小正方形的面积之和等于大正方形的面积,也就是等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 追问:在图17.1-2中,如果选取更大的等腰直角三角形,按照同样的方法作三个正方形,这三个正方形的面积关系还一样吗?如图所示.二、(出示教材图17.1-3) 提出问题:(结合带提示的下图) 1.正方形A,B,C的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么? 2.正方形A',B',C'的面积分别是多少?它们之间的数量关系说明了什么? 学生活动:依据教材探究的提示,根据直角三角形的边长,分别计算出正方形A,B,A',B'的面积;再通过建立一个大正方形计算出正方形C,
4、C'的面积. 探究提示:正方形A,B的面积分别为4和9,通过建立边长为5的正方形,计算出正方形C的面积为25减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C的面积为13. 同理,正方形A',B'的面积分别为9和25,通过建立边长为8的正方形,计算出正方形C'的面积为64减去四个小直角三角形面积和,也就是正方形C'的面积为34. 活动总结:直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 三、1876年,美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理.你也能完成证明过程吗? 证明:以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab.把这两个直角三角形拼成如图所示的形状,使A,E
5、,B三点在一条直线上. ∵Rt△EAD≌Rt△CBE, ∴∠ADE=∠BEC. ∵∠AED+∠ADE=90°, ∴∠AED+∠BEC=90°. ∴∠DEC=180°-90°=90°. ∴△DEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2. 又∵∠DAE=90°,∠EBC=90°, ∴AD∥BC. ∴四边形ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)2. ∴(a+b)2=2×ab+c2. ∴a2+b2=c2. 学生思考后,教师再展示证明过程. 四、.例题讲解 (补充)在直角三角形中,各边的长如图,求出未知边的长度. 引导分析:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=
6、c2.通过对等式变形,可以得出直角三角形三边之间的关系:c=,b=,a=. 解:(1)根据勾股定理,得AB===. (2)根据勾股定理,得AB===2. [解题策略] 在直角三角形中,已知两边长,求第三边长,应用勾股定理求解,也可建立方程解决问题. (补充)有两边长分别为3cm,4cm的直角三角形,其第三边长为 cm. 〔解析〕 分情况讨论:当4cm为直角边长时,当4cm为斜边长时,依次求出答案即可.①当4cm是直角边长时,斜边==5(cm),此时第三边长为5cm;②当4cm为斜边长时,第三边==(cm).综上可得第三边的长度为5cm或cm.故填5或. [解题策略] 注意掌握勾股定理
7、的表达式,分类讨论是解决此题的关键,难点在于容易漏解.五、课堂小结 师生共同回顾本节课所学主要内容: 1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方. 2.注意事项: (1)注意勾股定理的使用条件:只对直角三角形适用,而不适用于锐角三角形和钝角三角形. (2)注意分清斜边和直角边,避免盲目代入公式致错. (3)注意勾股定理
