因式分解培优题(超全面、详细分类).doc

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1、因式分解专题培优把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：因式分解的一般方法及考虑顺序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法．2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法．3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：　　(1)a2－b2=(a+b)(a－b)；　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；　

2、　(3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)；　　(4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)．　　下面再补充几个常用的公式：　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；　　(6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)；　　(7)an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)，其中n为正整数；　　(8)an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1)，其中n为偶数；　　(9)an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－

3、3b2－…－abn－2+bn－1)，其中n为奇数．　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例题1分解因式：(1)－2x5n－1yn+4x3n－1yn+2－2xn－1yn+4；(2)x3－8y3－z3－6xyz；　(3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab；(4)a7－a5b2+a2b5－b7．第17页共17页例题2分解因式：a3+b3+c3－3abc．例题3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．对应练习题分解因式：(2)x10+x5－2(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2－x5(5)9(a-b)2+12

4、(a2-b2)+4(a+b)2(6)(a-b)2-4(a-b-1)（7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1第17页共17页二、分组分解法（一）分组后能直接提公因式例题1分解因式：分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.例题2分解因式：对应练习题分解因式：1、2、（二）分组后能直接运用公式例题3分解因式：例题4分解因式：对应

5、练习题分解因式：3、4、第17页共17页综合练习题分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）第17页共17页三、十字相乘法1、十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和.例题1分解因式：例题2分解因式：对应练习题分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)(6)（二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1）（2）（3）分解结果：=例题3分解因式：对应练习题分解因式：（1）（2）（

6、3）（4）第17页共17页（三）二次项系数为1的齐次多项式例题4分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解.18b1－16b8b+(－16b)=－8b对应练习题分解因式：(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例题5分解因式：例题6分解因式：对应练习题分解因式：（1）（2）综合练习题分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）第17页共17页（7）（8）（9）（10）思考：分解因式：2、双十字相乘法定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式.条件：（1），，（2），，即：，，则例题7分解因式：（1）（2）解：（1）应用双十字相

7、乘法：，，∴原式=（2）应用双十字相乘法：，，∴原式=对应练习题分解因式：（1）（2）第17页共17页3、十字相乘法进阶例题8分解因式：例题9分解因式：四、主元法例题分解因式：对应练习题分解因式：(1)(2)(3)(4)第17页共17页五、换元法　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例题1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12．例题2分解因式：例题3分解因式：分析：型如的多项式，分解因式时