第七章 不定积分.ppt

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1、第七章不定积分9/15/20217.1不定积分一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质9/15/2021一、原函数与不定积分的概念如果在区间内，可导函数的导函数为即都有原函数：那么函数就称为dF(x)=f(x)dx或在区间内原函数.不定积分：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，记为.I或F(x)f(x)f(x)dxIII9/15/2021任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量①②9/15/2021原函数存在定理如果函数在区间内连续，那么在区间I内存在可导函数

2、使，都有①连续函数一定有原函数.②原函数不唯一③的全体原函数组成的集合或F(x)I9/15/2021例1求当时，，是在内的一个原函数即在内，是在内的一个原函数即在内当时，解：9/15/2021例2设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解：设曲线方程为根据题意知即是的一个原函数由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为①函数的原函数的图形称为的积分曲线。②微分运算与求不定积分的运算是互逆的.③9/15/2021二、基本积分表积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求

3、导公式得出积分公式.是常数);9/15/20219/15/2021例3求积分解：根据积分公式（2）9/15/2021三、不定积分的性质性质1设函数及的原函数存在，则性质2设函数的原函数存在，为非零常数，则①性质1可推广到有限多个函数之和的情况②往往利用性质对被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.9/15/2021例4求解：例5求解：例6求解：9/15/2021例7求解9/15/2021例8求解9/15/2021例9求解9/15/20217.2换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法9/15/

4、2021一、第一类换元法定理1：设具有原函数，可导，则有换元公式第一类换元公式（凑微分法）①在一般情况下：设则②使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.9/15/2021例1求解：例2求解：9/15/2021例3求解：求解：例49/15/2021求解：例5例6求解：9/15/2021求例7解：一般地①②当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.9/15/2021二、第二类换元法设是单调的、可导的函数，并且则有换元公式又设具有原函数，定理2：其中是的反函数①第二类积分换元公式②使用三角

5、代换，化掉根式.22xa-可令ⅰ)22xa+ⅱ)可令ⅲ)22ax-可令9/15/2021令例8求解：9/15/2021例9求令解：9/15/2021令例10求解：9/15/2021求解：令例119/15/2021令例12当分母的阶较高时,可采用倒代换求解：9/15/20219/15/2021两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换9/15/2021例13求解9/15/2021例14求解9/15/2021例15求解9/15/2021设函数和具有连续导数，分部积分法9/15/2021显然

6、，选择不当，积分更难进行.若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)①②若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.③9/15/2021解令（二）令例1求积分解（再次使用分部积分法）例2求积分（一）9/15/2021例3求积分解令9/15/2021例4求积分解9/15/2021例5求积分解9/15/2021例6求积分解9/15/2021例7求积分解9/15/2021令9/15/2021解两边

7、同时对求导,得9/15/2021例9求其中n为正整数解用分部积分法，当n>1时有以此作递推公式，并由即可得9/15/2021例10求解令则于是利用分部积分法，并用代回，便得所求积分：9/15/20217.4有理函数的不定积分一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例9/15/2021两个多项式的商表示的函数称为有理函数.一、有理函数的积分其中都是非负整数；及都是实数，并且.假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.9

8、/15/2021（1）分母中若有因式，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中都是常数特殊地：分解后为（2）分母中若有因式,其中则分解后为其中都是常数特殊地：分解后为（3）真分式化为部分分式之和的待定系数法9/15/2021例1解9/15/2021代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例2解9/15/2021例3整理得解9/15/2021例4求积分解9/15/2021例5求积分解9/15/2021例6求积分解令9/15/20219/