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1、5.1微分方程的建立实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律：y=y(t).直接求很困难建立关于未知变量、未知变量的导数以及自变量的方程建立变量能满足的微分方程？哪一类问题在工程实际问题中*“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化.关键词:“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”.建立方法常用微分方程运用已知物理定律利用平衡与增长式运用微元法应用分析法机理分析法一、微分方程模型建模步骤（1）建模步骤（2）关于建模步骤的例子（3）建立微分方程的其他方法1、建模步骤(1)
2、1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等．2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式．建模步骤(2)3、配备物理单位：在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这
3、些给定的条件和微分方程一起列出。建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍例5.1.1一个较热的物体置于室温为180c的房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差.一.运用已知物理定律分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似
4、。建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0，“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”翻译为数学语言建立微分方程其中参数k>0，m=18.求得一般解为ln(T－m)=－kt+c,代入条件，求得c=42，k=－,最后得T(t)=18+42,t≥0.二.分析法基本思想：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系,找出反映内部机理的规律.例5.1.2（新技术推广模型）一项新技术如何在有关企业中推广，是人们关心的问题。具体的说，就是一家企业采用了一项新技术，那么该行业中其他企业将以怎样的速度采用该技术
5、？哪些因素影响速度的大小？记p(t)为t时刻采用该技术的企业数，并设p(t)连续可微。假设未采用该技术的企业之所以决定采用该技术，是因为其已知已有企业采用了该技术并具有成效，也就是“示范效应”在起作用。假设t=0时，有一项技术被引进到共有N个企业的行业中，其中有一个企业采用了该技术。表示t到时间内采用该技术的企业数的增加量假设该增量与已采用该技术的企业数成正比，还与未采用该技术的企业数成正比，则有令当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？还有当？时变化率最大？如果考虑广告的效应呢？解为考虑单位时间内使用该技
6、术的企业数增量时应把示范效应和广告效应一起考虑。而广告只对没采用该技术的企业起作用。假设其引起的增量与（N-p）成正比草原命运:天然草原的生息繁衍,已形成自身特有的生物链,且对人类生存起着重要作用。长期以来,人为破坏(如过度放牧、猎杀动物及采挖草药等)使草原生态每况愈下,日渐衰竭。据2000年8月6日《北京晚报》载:“……受利益驱使,有些人不顾国家法律和当地政府禁令,在呼伦贝尔草原大肆采挖中草药,致使草原严重受损。据此,有关专家推断,10年之内,该草原将变成荒漠。”为了天然草原的生息繁衍和可持续发展,完
7、成以下工作:1)建立草原自然生长规律模型,描述人为破坏对草原生长的影响过程;(2)论证或驳斥报载消息中专家的推断,如果立即停止对草原的一切人为破坏,10年后的情形如何?3)寻求导致草原消失的临界条件,给出草原生长的挽救方案,并对挽救效果进行预测。2、关于建模步骤的一个例子例1：某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／天，用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69焦／公斤.天乘以他的体重(公斤)．假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪台热量41868焦。试
8、研究此人的体重随时间变化的规律．3、例子分析1、翻译或转化：2、配备物理单位：3、建立表达式：4、确定条件：1、“每天”：体重的变化＝输入一输出其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收；输出是进行健身训练时的消耗(WPE)．2、上述陈述更好的表示结构式：体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天其中：净吸收量／天＝10467–5038＝5429（焦／天)净输出量／天＝69(焦／公斤·天)×W／(公斤＝69W(焦／天)3、体重的变化／天＝(
