(3)无穷级数复习课1.ppt

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1、无穷级数复习课一、内容提要上页下页铃结束返回首页二、典型例题内容提要收敛级数的基本性质性质1性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.性质2级数收敛的必要条件如果一般项不趋于零,则级数必发散.内容提要等比级数的收敛性p级数的收敛性等比级数当

2、q

3、<1时收敛,当

4、q

5、≥1时发散.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.内容提要比较审敛法比较审敛法的极限形式(1)如果则与的敛散性相同.(2)如果则的强级数.为设和都是正项级数.内容提要比值审敛法根值审敛法收敛当1(

6、或)时级数发散收敛当1(或)时级数发散注:r类似于等比级数的公比,称其为渐近公比.p-级数的渐近公比等于1.内容提要莱布尼茨定理则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值

7、rn

8、un1.绝对收敛与条件收敛收敛,而级数å¥=1

9、

10、nnu发散,则称级数å¥=1nnu条件收敛.内容提要幂级数的收敛半径与收敛区间如果幂级数∑anxn不是仅在点x0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得当

11、x

12、

13、x

14、>R时,幂级数发散;当xR与x

15、R时,幂级数可能收敛也可能发散.正数R通常叫做幂级数∑anxn的收敛半径.开区间(RR)叫做幂级数∑anxn的收敛区间注:若幂级数只在x0收敛,则规定收敛半径R0;若幂级数在(,)内收敛,则规定收敛半径R.内容提要幂级数的和函数的性质幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛域I上连续幂级数∑anxn的和函数s(x)在收敛区间(RR)内可导.逐项积分公式逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项求导公式逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径内容提要几个函数的展开

16、式提示:典型例题知识点的收敛性.例1判别级数解因为而级数收敛,所以原级数也收敛.的收敛性.例2判别级数解因为而级数收敛,所以级数也收敛.知识点解所给级数发散当ae时,r>1,所给级数发散当a=e时,的收敛性.例3讨论级数知识点解所给级数发散当a<1时,r<1,所给级数收敛当a>1时,r>1,所给级数发散当a=1时,的收敛性.例5讨论级数知识点解因此所给级数条件收敛.的收敛性.例6判别级数而级数发散,所以所给级数非绝对收敛.且un单调减少,提示:知识点单调增加解的收敛域.

17、例6求幂级数当x-1=1时,得级数而级数发散,当x-1=-1时,得交错级数知识点所以所得级数发散.且un单调减少,所以所得级数收敛.所求收敛域为[0,2).解的和函数.例8在区间(-1,1)内求幂级数提示:知识点解知识点以上级数在点x=±1处收敛,例10将函数展开为x的幂级数.但在点x=1处不连续,因此而f(x)在点x=-1处连续,比较审敛法的极限形式(1)如果则与的敛散性相同.(2)如果则的强级数.为设和都是正项级数.p级数的收敛性比值审敛法根值审敛法收敛当1(或)时级数发散收敛当1(或

18、)时级数发散级数收敛的必要条件如果一般项不趋于零,则级数必发散.比较审敛法莱布尼茨定理则级数收敛,且其和su1,其余项rn的绝对值

19、rn

20、un1.注:设(1)当r<1时,级数绝对收敛;(2)当r>1时,级数发散.绝对收敛与收敛的关系幂级数的收敛半径与收敛区间如果幂级数∑anxn不是仅在点x0收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必存在收敛半径R,使得当

21、x

22、

23、x

24、>R时,幂级数发散.开区间(RR)叫做幂级数∑anxn的收敛区间注:若幂级数只在x0收敛,则规定收敛半径R

25、0;若幂级数在(,)内收敛,则规定收敛半径R.收敛半径的求法