无穷级数复习讲义

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1、第一节数项级数一．无穷级数收敛的充分条件：数列的前n项和数列收敛；必要条件：.例1：证明级数收敛.证：①教材第二页的证明方法（利用cauchy判则）.②取数列的前n项和.当时，∴=……=2∴单调递增且有界，数列收敛，所以级数收敛.例2：研究级数的敛散性.解：∵lim，∴级数发散.小结：一般来说，cauchy判则没有多大的实用价值，在证明数列收敛时一般不用此法；无穷级数收敛的必要条件的逆否命题也是可以利用.二．收敛级数的性质⒈若级数与都收敛，是常数，则级数也是收敛的.⒉在级数中改变有限项的值，并不改变级数的敛散性.三

2、．正项级数若，则称是正项级数.⒈正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.（例题参见例1）⒉设与都是正项级数，若从某项开始有恒成立，则⑴．若发散，则发散；⑵．若收敛，则收敛.（比较判别法）例3：称为p级数，讨论它的敛散性.解：证明结果：当时，发散；当时，收敛.(详细证明方法参见书本第六页)例4：级数发散.例5：收敛.（利用p级数）小结：一般在应用比较判别法时，要用到p级数.p级数的应用价值很大，请记住它的敛散性.⒊设与都是正项级数，.⑴．若，则与同敛散；⑵．若，则当收敛时，也收敛；⑶．若，则当发散时，也发散.例6

3、：收敛.证明:∵对于，有，且，由收敛，知收敛.小结：一般在应用这一定理时，也要介入p级数来做比值判别.⒋（cauchy判别法）设是正项级数.⑴．若从某项起，则收敛；⑵．若有无穷多个n，使得，则发散.⒌（cauchy判别法的极限形式）设是正项级数，.⑴．当时，收敛；⑵．当时，发散.⒍（d’Alembert判别法）设是正项级数.⑴．若从某项起，则收敛；⑵．若从某项起有，则发散.⒎（d’Alembert判别法）设是正项级数，.⑴．当时，收敛；⑵．当时，发散.例7：发散.例8：收敛.小结：一般极限形式更容易解决问题.⒐（c

4、auchy积分判别法的极限形式）设在上有定义，非负且单调递减，则与同敛散.四．交错级数设，称级数为交错级数.1．设单调递减趋于0，则级数收敛，且和不大于.例9：收敛.五．条件收敛与绝对收敛称为的绝对值级数1．若收敛，则收敛.若收敛，则称绝对收敛；若收敛，发散，则称条件收敛.(这是条件收敛与绝对收敛的定义，同时可以作为判别方法)例10：绝对收敛.证：分析只需证明收敛即可.由柯西积分判别法，与广义积分同敛散.而广义积分是收敛的（收敛于）.所以收敛.所以绝对收敛.注意：都是发散的，但收敛.绝对收敛，但是与都是条件收敛的，

5、那我能否说用两个条件收敛的级数的线性组合一定可以表示出一个绝对收敛的级数？第二节幂级数和Taylor展式类似于数项级数，可以定义函数项级数.形如的函数项级数称为幂级数.在此我们重点讨论时的情况（）.一．幂级数的收敛半径⒈（Abel引理）如果幂级数在处收敛，则当时，绝对收敛;如果幂级数在处发散，则当时，发散.下面两个定理用来确定幂级数的收敛半径：⒉如果(),则幂级数的收敛半径.⒊如果，则幂级数的收敛半径.例11：求幂级数和的收敛半径.解：∵，∴的收敛半径为1；∵，∴的收敛半径为0.二．幂级数的性质⒈设幂级数和的收敛半

6、径分别为和，取,则=+在中成立.⒉的收敛半径为，则和函数在收敛区间上连续.⒊对幂级数逐项积分或微分，不改变收敛半径,但有可能该变收敛区域.例12:求幂级数的收敛域和和函数.解：显然，则幂级数的收敛半径，收敛域为全体实数.令=，则，即，解得=。注意初始条件.例13：求幂级数的和函数.解：令=，则，所以这类问题一般会涉及到常微分方程的求解三．初等函数的Taylor展开式由Taylor定理知，对n+1阶可导函数有：如果一个函数能够在处展开成幂级数，那么这样的幂级数时唯一的，为：，这是的Taylor级数当时，级数称为Mac

7、laurin级数.⒈两个重要函数的Maclaurin级数（必须熟记会用）⑴．…＋…⑵.在这两个Maclaurin级数的帮助下,通过变形、积分、微分、代换等方法可以求出其他比较复杂的函数的Maclaurin级数或在指定点的Taylor级数.例14：将在处展开成Taylor级数.解：.由，知所以若要在处展开，则有如下做法：例15：将展开成Maclaurin级数.解：所以，化简不过，具体解决问题的方法还是因题而异，视情况而定.这些都只是系统化的方法，有时候不一定是最优解.例16：解：设一个幂级数，故待求的数项级数为.∴设

8、∴∴，∴，即，