三角形的证明.doc

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1、三角形证明知识点1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等．（简写：等边对等角）推论1：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（三线合一）2．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简写成“等角对等边”．推论1：三个角相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是600的等腰三角形是等边三角形．3.线段的垂直平分线（1）垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。（2）线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。（3

2、）判定定理：到一条线两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。4.角平分线（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。5.直角三角形（1）“斜边，直角边”或“HL”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（2）在直角三角形中，30°所对应的边是斜边的一半（3）直角斜边的中线等于斜边的一半（4）勾股定理及其逆定理6.全等三角形的判定（AAS，SSS，SAS，ASA）例1、已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB

3、为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．(1)求证：AE=BE；(2)若∠AEC=45°，AC=1，求CE的长．(8分)例2、已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.例3△ABC的边BC的中垂线DF交△BAC的外角平分线AD于为D，F垂足，DE⊥AB于E，且AB>AC。求证：BE-AC=AE.例4、如图①，已知在△ABC中，AB=

4、AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”图①图②小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．例5、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点F。(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；ABCDFD/例6、如图，长方形ABCD中，AB

5、＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在D/处，则重叠部分△AFC的面积是多少？例7．如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，D在AB上．（1）求证：△AOC≌△BOD；（4分）（2）若AD＝1，BD＝2，求CD的长．（3分）ABCDOABCDFE例8．如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE与AB相交于F．(1)求证：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的长．