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《2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式讲义新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1课时 组合与组合数公式知识点 组合的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点 组合与组合数公式组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在m>时，通常不
2、直接计算C而改为C，对于性质2，C＝C＋C要会正用、逆用、变形用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C.( )(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C个积．( )(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( )(4)C＝5×4×3＝60.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．做一做(1)从6名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数是________．(2)C＝________.(3)C＋C＝__
3、______.答案 (1)20 (2)190 (3)161700解析 (1)由组合数公式知C＝＝20.(2)C＝C＝＝190.(3)C＋C＝C＝＝161700.探究 组合的有关概念例1 给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？(5)某人射击
4、8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？(6)某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪中恰有3枪连中，不同的结果有多少种？在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？[解] (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．(5)命中的4枪均为2枪连中，为相同的元素，没有顺序，是组合问题．(6)命中的4枪中恰有3
5、枪连中，即连中3枪和单中1枪，有顺序，是排列问题．拓展提升判断是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个元素先后顺序，看是否对结果产生影响，若无新变化，则是组合问题．总之，与顺序有关是排列问题，若与顺序无关，则是组合问题． 判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a
6、，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？解 (1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题，只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，
7、与顺序有关，是排列问题．探究 组合数及组合数性质的运用例2 (1)计算：C－C·A；(2)已知－＝，求C；(3)求C＋C的值；(4)证明：mC＝nC.[解] (1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.(2)原方程可化为－＝，即－＝，∴1－＝，即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21(不符合题意，舍去)．∴C＝C＝28.(3)∵∴9.5≤n≤10.5，∵n∈N*，∴n＝10，∴C＋C＝C＋C＝＋＝466.(4)证明：mC＝m·＝＝n·＝nC.拓展提升(1)像排列数公式一样，公式C＝
8、一般用于计算；而公式C＝及C＝一般用于证明、解方程(不等式)等．(2)在解决与组合数有关的问题时，要注意隐含条件“m≤n且m，n∈N*”的运用．如本例(3)．(3)要注意公式Amn＝CA的逆向运用，如本例(1)中可利用“CA＝A”简化计算过程．(4)本例(4)所推导的结论“mC＝nC”以及它的变形公式是非常重要的公式，应熟练掌握． (1)①求值：C＋C；②求证：C＝C.(2)计算：①C＋C·C；②C＋C＋C＋C＋C＋C；③C·C.解 (1)①解得4≤n≤5.又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.当
