2018年秋高中数学计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式学案新人教a版

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1、第1课时 组合与组合数公式学习目标:1.理解组合与组合数的概念.(重点)2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.(重点)3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(难点、易混点)[自主预习·探新知]1.组合的概念一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.思考:怎样理解组合,它与排列有何区别?[提示] (1)组合要求n个元素是不同的,被取的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)取出的m个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合

2、的特点.(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合问题.2.组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.思考:如何理解组合与组合数这两个概念?[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中

3、取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.3.组合数公式及其性质(1)公式:C==.(2)性质:C=C_,C+C=C.(3)规定:C=1.[基础自测]1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(  )(2)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为C.(  )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡

4、镇的社会调查,有多少种不同的选法是组合问题.(  )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名,有3种不同的选法.(  )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法是排列问题.(  )[解析] (1)√ 因为只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.(2)√ 由组合数的定义可知正确.(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇,这是排列问题.(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有:甲乙,甲丙,乙丙,共3个组合,即有3种不同选法.(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序,故该

5、问题是组合问题.[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.若C=28,则n=(  )【导学号:95032046】A.9        B.8C.7D.6B [C==28,解得n=8.]3.甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是________.3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同,同距离两地票价相同,故该问题为组合问题,不同票价的种数为C==3.]4.C=________,C=________.【导学号:95032047】15 18 [C==15,C=C=18.][合

6、作探究·攻重难]组合的概念 (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题:①设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?②某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价?③2018年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有多少张?(2)已知A,B,C,D,E五个元素,写出每次取出3个元素的所有组合.【导学号:95032048】[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题,只需确定取出的元素是否与顺序有关.[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.②因为甲站到乙站

7、,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.③甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出,即所以所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.[规律方法]1.区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,而无顺序就是组合问题.而要判定它是否有顺序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“

8、有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.2.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来,如本题的作法,这样做直观、明了、清楚,以防重复和遗漏.[跟踪训练]1.(1)判

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1、第1课时 组合与组合数公式学习目标:1.理解组合与组合数的概念.(重点)2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.(重点)3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(难点、易混点)[自主预习·探新知]1.组合的概念一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.思考:怎样理解组合,它与排列有何区别?[提示] (1)组合要求n个元素是不同的,被取的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)取出的m个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合

2、的特点.(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合问题.2.组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.思考:如何理解组合与组合数这两个概念?[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中

3、取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.3.组合数公式及其性质(1)公式:C==.(2)性质:C=C_,C+C=C.(3)规定:C=1.[基础自测]1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(  )(2)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为C.(  )(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡

4、镇的社会调查,有多少种不同的选法是组合问题.(  )(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名,有3种不同的选法.(  )(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法是排列问题.(  )[解析] (1)√ 因为只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.(2)√ 由组合数的定义可知正确.(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇,这是排列问题.(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有:甲乙,甲丙,乙丙,共3个组合,即有3种不同选法.(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序,故该

5、问题是组合问题.[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×2.若C=28,则n=(  )【导学号:95032046】A.9        B.8C.7D.6B [C==28,解得n=8.]3.甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是________.3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同,同距离两地票价相同,故该问题为组合问题,不同票价的种数为C==3.]4.C=________,C=________.【导学号:95032047】15 18 [C==15,C=C=18.][合

6、作探究·攻重难]组合的概念 (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题:①设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?②某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价?③2018年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有多少张?(2)已知A,B,C,D,E五个元素,写出每次取出3个元素的所有组合.【导学号:95032048】[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题,只需确定取出的元素是否与顺序有关.[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.②因为甲站到乙站

7、,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.③甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出,即所以所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.[规律方法]1.区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,而无顺序就是组合问题.而要判定它是否有顺序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“

8、有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.2.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来,如本题的作法,这样做直观、明了、清楚,以防重复和遗漏.[跟踪训练]1.(1)判

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