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时间:2020-02-25
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1、学案18 三角函数的图象与性质导学目标:1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间内的单调性.自主梳理1.周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定域内的每一个x值,都满足__________,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数____叫做这个函数的周期.(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____
2、____________,那么这个________________就叫做f(x)的最小正周期.2.三角函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域值域周期性奇偶性单调性在______________上增,在______________上减在_____________上增,在_____________上减在定义域的每一个区间____________________内是增函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)(kπ+,0)(k∈Z)(,0)(k∈Z)对称轴x=kπ+,(k∈Z)x=kπ,(k∈
3、Z)无自我检测1.设点P是函数f(x)=sinωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则f(x)的最小正周期是________.2.函数y=3-2cos(x-)的最大值为________,此时x=________.3.函数y=tan(-x)的定义域是________.4.比较大小:sin(-)________sin(-).5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么
4、φ
5、的最小值为________.探究点一 求三角函数的定义域例1 求函数y=+的定义域.变式
6、迁移1 函数y=+lg(2sinx-1)的定义域为________________________.探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y=2sin的单调区间.变式迁移2 (1)求函数y=sin,x∈[-π,π]的单调递减区间;(2)求函数y=3tan的周期及单调区间.探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.变式迁移3 设函数f(x)=acosx+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=bsin(ax+
7、)的周期.转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域:(1)y=-2sin2x+2cosx+2;(2)y=3cosx-sinx,x∈[0,];(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.【答题模板】解 (1)y=-2sin2x+2cosx+2=2cos2x+2cosx=2(cosx+)2-,cosx∈[-1,1].当cosx=1时,ymax=4,当cosx=-时,ymin=-,故函数值域为[-,4].[4分](2)y=3cosx-sinx=2cos(x+).∵x∈[0,],∴≤x+≤,∵y=cosx在[,]
8、上单调递减,∴-≤cos(x+)≤,∴-≤y≤3,故函数值域为[-,3].[9分](3)令t=sinx+cosx,则sinxcosx=,且
9、t
10、≤.∴y=t+=(t+1)2-1,∴当t=-1时,ymin=-1;当t=时,ymax=+.∴函数值域为[-1,+].[14分]【突破思维障碍】 1.对于形如f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定ωx+φ的范围,再求值域.同时,对于形如y=asinωx+bcosωx+c的函数,可借助辅助角公式,将函数化为y=sin(ωx+φ)+c的形式,从
11、而求得函数的最值.2.关于y=acos2x+bcosx+c(或y=asin2x+bsinx+c)型或可化为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题.给你提个醒!不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域.1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础,三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组).2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间
12、的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,利用y=sinx的单调区间来求.(满分:90分)一、填空题(每小题6分,共48分)1.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.2.(2010·江苏6校高三联考)已知函数y=tanωx(ω>0)与直线y=a相交于A、B两点,且
13、AB
14、最小值为π,则
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